假如我们在ZF集合论里加入这么一条公理：
概括公理:设对于每一个对象$x$,我们都有一个依赖于$x$的性质$P(x)$,则存在一个集合$\{x|P(x)\mbox{成立}\}$.使得$$y\in\{x|P(x)\mbox{成立}\}\Leftrightarrow P(y)\mbox{成立}$$.
这看上去是一条很好的公理,在高中教科书中事实上也是这么表述一个集合的.如果这条公理加入不会导致矛盾,那么集合论的公理体系会大大简化,具體會怎麼簡化見下面.
1.该公理等价于命题
存在一个由一切对象组成的集合.
证明：$\Rightarrow $根据概括公理,存在集合$\{x|x$是对象$\}$.
$\Leftarrow$已知$\{x|x$是对象$\}$存在，结合分離公理,可知集合$\{x|x$是对象且$x$满足性质$P(x)\}$存在.
2.利用概括公理可以证明ZF集合論裏的空集存在公理:我们让$P(x)$是一个假命题,即可得到一個空集.
而且,易得,利用概括公理能推出ZF公理裏的分離公理和代替公理(怎麼推?)可見，如果引入概括公理真的沒有矛盾的話，那簡直太好了.可惜天底下沒有這麼好的事情,概括公理能引出一個很大的矛盾,叫羅素悖論:
羅素悖論說,根據概括公理，存在這麼這麼一個集合$A$，$A$以所有不屬於自己的集合爲元素.比如,$\{1,2,\{1,2\}\}$不屬於自己,因此$\{1,2,\{1,2\}\}$屬於集合$A$.然後,羅素問道:集合A屬於自己嗎?
我們知道,根據ZF集合論裏的公理1 ,可知只有兩種情況,要麼A屬於自己,要麼A不屬於自己.易得兩種情形都導致矛盾(爲什麼?)可見,引入概括公理是不合適的.因此概括公理可以被廢除.
然 而僅僅是廢除概括公理還是不夠的.因爲廢除了概括公理,羅素悖論依然可以存在,只是“存在的根據消失了”(之所以說「存在的根據消失了」是因爲一旦廢除概 括公理,所有不屬於自己的集合便不一定能形成一個集合).爲此,我們要用一個公理徹底否定羅素悖論.這個公理就是正則公理:
若A是非空集合，则A中必含有元素，该元素或者不是集合，若是集合，则与A不相交.
我們來看看,如果缺失了正則公理,會發生什麼情況:我們就能構造一個非空集合 $A$ ,$A$ 的所有元素都是集合,且屬於A的集合都與$A$相交.則必有
$$\cdots A_5\in A_4\in A_3\in A_2\in A_1\in A$$
其中$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,\cdots$都是$A$的元素,且它們都是集合.這樣,我們就發現集合$A$是一個“沒有底”的砂鍋,這簡直是怪物,而不是我們所喜歡的集合.由此可見正則公理的重要性.
有了正則公理後,羅素悖論就徹底不合法了,因爲根據正則公理容易推出每個集合都不屬於自身(怎麼推?)，因此羅素悖論裏問$A$是不是屬於自身就沒什麼意思了.正則公理也能否定下面這樣的情況的合法性：
集合$A$,$B$,$A\in B$,$B\in A$.
這種情況,從直覺上看,也是一種“沒有底的砂鍋”，下面我們來看看正則公理是怎麼排除這種情況的.構造一個集合$\{A,B\}$(根據的是axiom of pair),我們知道,$A$和$\{A,B\}$相交,$B$和$\{A,B\}$也相交.這與正則公理矛盾.
正则公理的一个应用(感谢哆嗒网网主雷霆):
所有单元素集(singleton set)形成的类不是一个集合.
这是因为，假如所有单元素集形成一个集合$A$.那么根据“集合能作为一个元素”这条公理，$\{A\}$也是一个单元素集.则$\{A\}\in A$.这与正则公理矛盾.