这是我很久以前写的一份文档,现在贴到这里.
我们讨论问题的框架是$\mathbb{\mathbb{R}}^n$.
定义:$p=(p_1,\cdots,p_n)\in \mathbb{R}^{n},\mbox{集合}\{q=(q_1,\cdots,q_n)||q_1-p_1|<\varepsilon_1,\cdots,|q_n-p_n|<\varepsilon_n\}$称为点$p$的$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$-附近.简记为$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)$.
定义:对于$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,
1.$p$称为$S$的内点,如果存在正实数$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S$.2.$p$称为$S$的边界点，如果对于任意正实数$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\not\subseteq S$，且$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S\neq\emptyset$.
3.$p$称为$S$的外点，如果存在正实数$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\bigcap S=\emptyset$.
显然$p$与$S$的关系有且仅有上述3种关系之一.
定义:$p$是$S$的聚点，当且仅当$p$是$S$的极限点.如果属于点集S的点不是聚点，则称它为孤立点.
可以看到，一个点集$S$的边界点$q$,$q$可以属于$S$，这时，$q$可能是聚点也可能是孤立点,而且只有这两种可能.$q$可以不属于$S$,这时$q$只可能是聚点.
定义:开集的下面两种定义是等价的.1.一个点集，当所有属于它的点都是内点时,该点集叫开集.
2.一个点集，它的所有边界点都不属于该点集时，该点集叫开集.
定义等价性是显然的.
定义:$S$是闭集当且仅当它包含了所有边界点.
显然一个点集是闭集的充要条件是该点集包含了该点集的所有聚点.平面上的点集并非只有开集和闭集两种，实际上，开集和闭集只是两种极端情况：开集是所有边界点都不包括，闭集是所有边界点都包括.而显然平面上的某些点集只包含它的一部分边界点.
几个重要结论
定理1:$S\subseteq \mathbb{R}^{n}$,若$S$是开集，则$\mathbb{R}^{n}-S$是闭集.若$S$是闭集，则$\mathbb{R}^{n}-S$是开集.
证明:若$p$是$S$的边界点，则易得$p$也是$\mathbb{R}^n-S$的边界点.若$q$是$\mathbb{R}^n-S$的边界点，则$q$也是$S$的边界点.可见，边界若完全被其中一方拥有，则另一方则完全不拥有，定理得证.当然,也可能存在这样的情况,即 $S$根本没有边界点,此时 $\mathbb{R}^n-S$也没有边界点,此时,$S$和$\mathbb{R}^n-S$都是既开又闭的.
定理2:两个开集的并集是开集
证明:设$A$,$B$是开集，$x\in A\bigcup B$,那么$x$不是A的内点就是B的内点,所以总会是$A\bigcup B$的内点.
注1:实际上,无限个开集的并集也是开集.证明十分容易，可以直接由无限个集合的并的定义入手：设$p$是这无限个开集的并集$K$中的一点，则$p$属于其中至少一个开集.设这个开集为$A$.则存在正实数$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$,使得$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq A\subseteq K\Box$.
定理3:两个闭集的交集是闭集.
证明:以$\mathbb{R}^n$为全集，“两个闭集的交集”的补集为“两个开集的并集”.而我们知道两个开集的并集是开集，所以两个闭集的交集是闭集.
定理4:两个开集的交集是开集.
注2:无限个开集的交集不一定是开集.实例：$(-1,2),(-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}),\cdots,(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}),\cdots$这无限个开集相交，是闭集$[0,1]$.
证明:两个开集$S,K$的交集中的任意一点$p$，必定是其中每一个开集的内点.这意味着存在正实数$\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n$和$\delta_1,\cdots,\delta_n$使得
$\mho_{\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n}(p)\subseteq S.\mho_{\delta_1,\cdots,\delta_n}(p)\subseteq K.$则\\$\mho_{\min\{\varepsilon_1,\delta_1\},\cdots,\min\{\varepsilon_n,\delta_n\}}(p)\subseteq S\bigcap K$.所以$p$也是$S\bigcap K$的内点.
定理5:两个闭集的并集是闭集
证明:根据摩根律，以$\mathbb{R}^n$为全集，则“开集的交集”的补集是“闭集的并集”.因为开集的交集是开集，而开集的补集是闭集.
注:上面的每句话都可以几乎一字不变地推广到一般的度量空间.