用Hermite插值方法估计积分值

设$f'(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)=f(b)=0$,则

\begin{align*}
\max_{a\leq x\leq b}|f'(x)|\geq \frac{4}{(b-a)^2}\int_a^b|f(x)|dx
\end{align*}

证明:只要做掉$f(x)$在$[a,b]$内恒非负的情形就足够了(为什么?).设$f(x)$在$[a,b]$内恒非负.令
$$g(x)=\int_a^xf(t)dt$$
因为$f(a)=f(b)=0$,所以由微积分第一基本定理，可得

\begin{align*}
g'(a)=g'(b)=0
\end{align*}

且易得$g(a)=0$.由于$f'(x)$在$[a,b]$上连续，因此$g''(x)$在$[a,b]$上连续.我们要证明的结论即

\begin{align*}
\max_{a\leq x\leq b}|g''(x)|\geq \frac{4}{(b-a)^2}|g(b)|
\end{align*}

为此，我们对$g$进行Hermite多项式插值.由于Hermite插值是牛顿多项式插值的极限情形，为此我们先进行牛顿多项式插值.我们设立牛顿插值的插值点
\begin{align*}
x_0=a,x_1,x_2,x_3=b
\end{align*}

易得经过这四个插值点的牛顿插值多项式为

\begin{align*}
g(x_0)+(x-x_0)g[x_0,x_1]+(x-x_0)(x-x_1)g[x_0,x_1,x_2]+(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)g[x_0,x_1,x_2,x_3]
\end{align*}

取极限，令$x_1\to x_{0},x_2\to x_3$,则牛顿插值多项式变为Hermite插值多项式

\begin{align*}
p(x)= g(x_0)+(x-x_0)g[x_0,x_0]+(x-x_0)^2g[x_0,x_0,x_3]+(x-x_0)^2(x-x_3)g[x_0,x_0,x_3,x_3]
\end{align*}

该Hermite插值多项式即

\begin{align*}
p(x)= g(a)+(x-a)g[a,a]+(x-a)^2g[a,a,b]+(x-a)^2(x-b)g[a,a,b,b]
\end{align*}

由于$g'(a)=g'(b)=0,g(a)=0$.因此

\begin{align*}
p(x)=(x-a)^2 g[a,a,b]+(x-a)^2(x-b)g[a,a,b,b]
\end{align*}
令
\begin{align*}
Q(x)=g(x)-p(x)
\end{align*}
可得
\begin{align*}
Q(a)=Q(b)=0,Q'(a)=Q'(b)=0
\end{align*}

于是使用Rolle定理两次(这里用到了“$g''$在$[a,b]$上连续”这个条件)可得存在$\xi\in (a,b)$使得

\begin{align*}
Q''(\xi)=0
\end{align*}
即
\begin{align*}
g''(\xi)=2g[a,a,b]+(6\xi-2b-4a)g[a,a,b,b]
\end{align*}

而
\begin{align*}
g[a,a,b]=\frac{g[a,a]-g[a,b]}{a-b}=\frac{0-\frac{0-g(b)}{a-b}}{a-b}=\frac{g(b)}{(a-b)^2}
\end{align*}
\begin{align*}
g[a,b,b]=\frac{g[a,b]-g[b,b]}{a-b}=\frac{\frac{g(a)-g(b)}{a-b}-g'(b)}{a-b}=\frac{-g(b)}{(a-b)^2}
\end{align*}
因此
\begin{align*}
g[a,a,b,b]=\frac{g[a,a,b]-g[a,b,b]}{a-b}=\frac{2g(b)}{(a-b)^3}
\end{align*}
即
\begin{align*}
g''(\xi)=\frac{2g(b)}{(a-b)^2}+(6\xi-2b-4a)\frac{2g(b)}{(a-b)^3}
\end{align*}

即
\begin{align*}
g''(\xi)=\frac{2g(b)}{(a-b)^2}[1+\frac{6\xi-2b-4a}{a-b}]
\end{align*}
即
\begin{align*}
g''(\xi)=\frac{2g(b)}{(a-b)^2}[\frac{6\xi-3a-3b}{a-b}]
\end{align*}
可见，

\begin{align*}
\max_{a\leq x\leq b} |g''(\xi)|\geq \frac{4g(b)}{(a-b)^2}
\end{align*}

完毕.