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  • 函数论_E.C.Tichmarsh_Page 4 例题 i,ii

    i:幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$在$[a,b]$上一致收敛.此处$-1<a<b<1$.


    证明:首先易得$|x|\leq\max\{|a|,|b|\}$,因此$|x|^n\leq\max\{|b|^n,|a|^n\}$.而且级数$\sum_{i=0}^{\infty}|b|^n$和级数$\sum_{i=0}^{\infty}|a|^n$都是绝对收敛级数,因此根据魏尔斯特拉斯-m 判别法,可知$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$在$[a,b]$上一致收敛.

    ii:三角级数

    \begin{equation}
    \label{eq:5.13.45}
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}
    \end{equation}
    在任何区间上都一致收敛.


    证明:首先,对于任意的实数$x$,以及任意的正整数$n$,都有
    \begin{equation}
    \label{eq:5.13.47}
    | \frac{\cos nx}{n^2}|\leq \frac{1}{n^2}
    \end{equation}
    而易得
    \begin{equation}
    \label{eq:5.13.49}
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
    \end{equation}
    是绝对收敛的级数(为什么?提示:中学里常见的题目,先放缩,再使用裂项法).因此根据魏尔斯特拉斯-m 判别法,
    可知
    \begin{equation}
    \label{eq:5.13.48}
    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}
    \end{equation}
    绝对收敛.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yeluqing/p/3828186.html
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