面试问题之数据结构与算法：最大连续子序列和

最大连续子序列和问题如下：

给定一个数字序列A1，A2，...，An，求i,j(1<=i<=j<=n)，使得Ai+...+Aj最大，输出这个最大和。

样例：

-2  11  -4  13  -5  -2

显然11+（-4）+13=20为和最大的选取情况，因此最大和为20

下面介绍动态规划的做法，复杂度为O(n)。

步骤1：令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和（这里是说A[i]必须作为连续序列的末尾）

步骤2：做如下考虑：因为dp[i]要求是以A[i]结尾的连续序列，那么只有两种情况：

　　1、这个最大和的连续序列只有一个元素，即以A[i]开始，以A[i]结尾。

　　2、这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处A[p]开始(p<i)，一直到A[i]结尾。

对于第一种情况，最大和就是A[i]本身。

对于第二种情况，最大和是dp[i-1]+A[i]。

于是得到状态转移方程：

　　　　dp[i]=max{A[i]，dp[i-1]+A[i]}

这个式子只和i与i之前的元素有关，且边界为dp[0]=A[0]，由此从小到大枚举i，即可得到整个dp数组。接着输出dp[0]，dp[1],...,dp[n-1]中的最大值即为最大连续子序列的和。

代码如下：

/*
    最大连续子序列和 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 10010
int A[maxn], dp[maxn];    // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和 

// 求较大值
int max(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; 
} 

int main() {
    int n, i, k;
    scanf("%d", &n);
    for(i=0; i<n; ++i) {        // 输入序列 
        scanf("%d", &A[i]);
    }
    dp[0] = A[0];                // 边界
    for(i=1; i<n; ++i) {
        // 状态转移方程 
        dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
    } 
    // 求最大连续子序列和 
    k = dp[0];
    for(i=1; i<n; ++i) {
        if(dp[i] > k) {
            k = dp[i];
        }
    }
    printf("%d
", k);        // 输出 

    return 0;
}

状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。