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- 矩阵向量求导定义
- 矩阵向量求导布局
机器学习中很多地方用到了标量，向量和矩阵之间的求导，计算求导确实非常麻烦，三个两两结合，就有9中基本形态，再加上转置，就更加晕乎了，因此作为后续学习基础，这个放到机器学习最前面作为先导知识。具体求导内容可见：
张贤达的《矩阵分析与应用》，电子档文本如下：
链接：https://pan.baidu.com/s/1iIcqAyJ1cfi2icdwgay0kw 提取码：rcwx
一、矩阵向量求导定义
求导其实高中就学过，基本都是标量对标量求导，也即是下图中的第一种形式，很简单就不展开。所谓向量对标量的求导，其实就是向量里的每个分量分别对标量求导，最后把求导的结果排列在一起，按一个向量表示而已。类似的结论也存在于标量对向量的求导，向量对向量的求导，向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导等。
若没有特殊说明，默认情况定义如下：求导的自变量用x表示标量，x表示n维向量，X表示m×n维度的矩阵，求导的因变量用y表示标量，y表示m维向量，Y表示p×q维度的矩阵。默认向量为列向量，若是行向量，本文全部使用对应字母的转置表示。
根据求导的自变量和因变量是标量，向量还是矩阵，我们有9种可能的矩阵求导定义，如下：
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自变量因变量 |
标量y |
向量y |
矩阵Y |
|
标量x |
∂y/∂x |
∂y/∂x |
∂Y/∂x |
|
向量x |
∂y/∂x |
∂y/∂x |
∂Y/∂x |
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矩阵X |
∂y/∂X |
∂y/∂X |
∂Y/∂X |
但是向量和矩阵表示又区分行和列不同情况，实际也就是转置不同，需要统一标准，才能阅读方便，一般称之为求导布局。
二、 矩阵向量求导布局
最基本的求导布局有两个：分子布局(numerator layout)和分母布局(denominator layout )。总体原则：根据保持与前面向量或矩阵为一致作为默认形式
2.1 分子布局(numerator layout)
一种解释：分子为 y 或者分母为 xT (即，分子为列向量或者分母为行向量)
另一种理解：以分子为主，求导的结果的维度和分子的维度是一致的。
如果向量y是一个m维的列向量，那么求导结果∂y/∂x也是一个m维列向量；
如果向量y是一个m维的行向量，那么求导结果∂y/∂x也是一个m维行向量。
2.2 分母布局(denominator layout )
一种解释：分子为 yT 或者分母为 x (即，分子为行向量或者分母为列向量)
另一种理解：对于分母布局来说，我们求导结果的维度以分母为主
如果向量y是一个m维的列向量，那么求导结果∂y/∂x是一个m维行向量；
如果向量y是一个m维的行向量，那么求导结果∂y/∂x是一个m维列向量。
2.3 举例说明：
总体来说还是有点绕，统一举例列表如下所示。
2.3.1 分子布局
标量/向量（行向量）：
向量 （列向量）/标量：默认形式
向量/向量： （分子为列向量横向平铺，分母为行向量纵向平铺）默认形式 称为雅克比 (Jacobian)矩阵
标量/矩阵： （注意这个矩阵部分是转置的，而下面的分母布局是非转置的）
矩阵/标量：默认形式
2.3.2 分母布局
标量/向量： （分母的向量为列向量）默认形式
向量/标量： （分子的向量为行向量）
向量/向量： （分子为行向量纵向平铺，分母为列向量横向平铺）
标量/矩阵： （矩阵部分为原始矩阵）默认形式
2.3.3 汇总
第一种太简单，不写了，后面三种情况太难，后续再展开。均有斜杠表示。我么按照列向量来举例子，行向量取转置即可。
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自变量因变量 |
标量y |
列向量y（m维） |
矩阵Y(p × q) |
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标量x |
/ |
∂y/∂x 分子布局：m维列向量（默认布局） 分母布局：m维行向量 |
∂Y/∂x 分子布局：p × q矩阵（默认布局） 分母布局：q × p矩阵 |
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列向量x（n维） |
∂y/∂x 分子布局：n维行向量 分母布局：n维列向量（默认布局）
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∂y/∂x 分子布局：m × n雅可比矩阵（默认布局） 分母布局：n × m梯度矩阵 |
/ |
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矩阵X (p × q) |
∂y/∂X 分子布局：q × p矩阵 分母布局：p × q矩阵（默认布局） |
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主要来自：