UVa1614

这道题是一道好题，我想了很久都没有想出合适的方案，这道题考了我们贪心（不确定）+数学推导（确定）的能力，看来我的数学逻辑以及推理能力还需要加强啊。

题意不说，直接上思路：

由于1<=ai<=i的条件，我们需要从这里入手求解，首先，我们需要证明什么时候优解，什么时候没解，解决这些再讨论怎么解的问题。

结论：对于在1 <= a[i] <= i时， 前i个数一定可以凑出1~sum[i]的所有整数

证明：数学归纳，n=1时成立，假设n=k之前所有项都成立，当n=k+1时。sum[k+1]=sum[k]+a[k+1]。
        只需证明能凑出sum[k]+1~sum[k+1]间的整数即可。设1≤p≤a[k+1]，sum[k]+p=sum[k]+a[k+1]-(a[k+1]-p)。
        因为1≤a[i]≤i，易得sum[k]≥k,a[k+1]-p≤k。又因为已知前k个数可以凑出1~sum[k]，所以一定可以凑出a[k+1]-p。
        所以只需从之前凑出sum[k]里面剪掉凑出a[k+1]-p的数就可以凑出sum[k]+p。所以从1~sum[k+1]都可以凑出。

https://www.cnblogs.com/zyb993963526/p/6357777.html

这个是从别人的博客上面找到的，这个大家自行理解，我就不说了。

然后是如何求解的问题，下面是解决思路：

我们把sum除2，然后就可以随便选了啊（从后往前选），只要a[i]的值小于当前sum值，我们就选了，赋值成1；否则赋值为-1；

我看有的题解要排序，其实不需要，排序无非是从大到小取...我反正觉得意义不大...

https://www.cnblogs.com/fzfn5049/p/7825185.html

这个大家看一看，我看到这个部分时，会有疑惑，为什么这样能够求出解呢？到底需不需要排序呢？？？？？

经过思考后，我明白了这样解的正确性，并且知道不需要排序，为什么？

下面是证明：

当sum < a[i]时，我们不能够用sum = sum - a[i]，目的也很简单（我们不能够得到负数，如果是负数，就不能保证得到的正负数的绝对值恰好是一半了），

那么我们需要确定i之前（即1 - i-1）是否满足它们的和 >= sum，由于a[i] <= i, a[1]+a[2]+...+a[i-1]>=i-1, 如果sum<a[i]那么sum<i所以我们发现a[1]+a[2]+...+a[i-1]>=sum,

类比最上面的结论（数学归纳的那部分）我们可以得到1 - i-1这部分一定能够组成sum，所以放心的继续向下查找。

当sum>=a[i]时，我们让sum = sum-a[i]，其实证明与sum<a[i]的那部分类似，在-a[i]之前sum一定<=a[1]+a[2]+...+a[i-1]（想一想，为什么），所以两边同时减去a[i],

自然也能够保证1 - i-1这部分一定能够组成sum-a[i],所以减完以后也放心的向下查找。

下面是实现：

// UVa 1614
// 数学证明（贪心） 
#include <cstdio> 
#include <cstring> 
#include <algorithm>
using namespace std; 

const int maxn = 100000 + 10; 
int n, a[maxn], ans[maxn];  

int main() { 
  while (scanf("%d", &n) == 1) {
    long long sum = 0; 
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      scanf("%d", &a[i]); 
      sum += a[i]; 
    }
    if (sum&1) {
      printf("No
");    
    } else {
      printf("Yes
"); 
      memset(ans, 0, sizeof(ans));
      sum >>= 1;  
      for (int i = n-1; i >= 0; --i) 
        if (sum >= a[i]) {
          sum -= a[i]; 
          ans[i] = 1; 
        } 
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (ans[i] == 0) printf("1 "); 
        else printf("-1 ");   
      }
      printf("
");
    }
  }
  return 0;
}