poj1248 (线性筛欧拉函数)（原根）

强烈鸣谢wddwjlss

题目大意：给出一个奇素数，求出他的原根的个数，多组数据。

这里先介绍一些基本性质

阶
设((a,m)=1),满足(a^r equiv 1 pmod m)的最小正整数r叫做整数a模m的阶

那么给出一个定理:
设((a,m)=1),r为a摸m的阶，则对于每个正整数k，(a^k equiv 1 pmod m) 当且仅当(r|k),特别地，(r|phi（m）)

阶的一些性质

设((a,m)=1),r为a摸m的阶，当且仅当二条件成立:
(a^r equiv 1 pmod m)
对于(r) 的每个素因子p有(a^{r/p} 与1不同余 pmod m)

原根

若整数a模m的阶为(phi(m))，则a是模m的原根

对于正整数m，模m具有原根当且仅当(m=2,4,p^a,2p^a)其中p是奇素数，且(age 1)

判断原根的方法
g是不是模m的原根：

bool check(int g,int m)
{
  for (int i=2;i*i<m;i++)
  {
    if ((m-1)%i==0 && (qsm(g,i,m)==1 || qsm(g,(m-1)/i,m)==1)) return false
  }
  return true;
}

其中(m为素数),(m-1是指phi(m))

运用的是上面的第二个推论

同时！！！！一个很重要的性质

如果(p)有原根，则它恰有(ϕ(ϕ(p)))个不同的原根（无论(p)是否为素数都适用）

那么对于上述的题目

我们要求(p)的原根个数，其实就是求(phi (p-1))

直接线性筛

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>

using namespace std;

inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}

const int maxn = 1e5+1e2;

int check[maxn],prime[maxn],phi[maxn];
int n,m;
int tot;

void init(int n)
{
	check[1]=1;
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
	   if (!check[i])
	   {
	   	  prime[++tot]=i;
	   	  phi[i]=i-1;
	   }
	   for (int j=1;j<=tot;j++)
	   {
	   	if (i*prime[j]>n) break;
	   	check[i*prime[j]]=1;
	   	if (i%prime[j]==0)
	   	{
	   		phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
	   		break;
		}
		else
		{
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	   }
	}
}

int main()
{
  init(100000);
  while (scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
  	printf("%d
",phi[n-1]);
  }
  return 0;
}