无源点无汇点有下界网络流

zoj 2314

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000;
#define INF 1e9
int s,t,tt,l,n,m;
int head[maxn],d[maxn],low[maxn],in[maxn];
bool vis[maxn];
struct re{
  int a,b,c,from,flow;
}a[maxn];
void arr(int x,int y,int z)
{
  a[++l].a=head[x];
  a[l].from=x;
  a[l].b=y;
  a[l].c=z;
  a[l].flow=0;
  head[x]=l;
}
bool bfs(){
   memset(vis,0,sizeof(vis));
   queue<int> q;
   q.push(s);
   d[s]=0; vis[s]=1;
   while (!q.empty())
   {
       int x=q.front(); q.pop();
       int u=head[x];
       while (u)
       {
          int v=a[u].b;
          if (!vis[v]&&a[u].c>a[u].flow)
          {
             vis[v]=1;
             d[v]=d[x]+1;
             q.push(v);
          }
          u=a[u].a;
       }
   }
   return(vis[t]);
}
int dfs(int x,int y)
{
  if (x==t||y==0)
  {
    return y;
}
  int flow=0,f,tmp;
  int u=head[x];
  while (u)
  {
      int v=a[u].b;
      if (d[x]+1==d[v]&&(f=dfs(v,min(y,a[u].c-a[u].flow)))>0)
      {

          a[u].flow+=f;
          if (u%2) tmp=u+1; else tmp=u-1;
          a[tmp].flow-=f;
          flow+=f;
          y-=f;
      }
      u=a[u].a;
  }
  return(flow);
}
int maxflow()
{
   int flow=0;
   while (bfs())
   {
      flow+=dfs(s,INF);
   }
   return flow;
}
int main()
{
    freopen("noip.in","r",stdin);
    freopen("noip.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>tt;
    while (tt--)
    {
        l=0; memset(head,0,sizeof(head));
       cin>>n>>m;
       memset(in,0,sizeof(in));
       int c,d,e,f;
       for (int i=1;i<=m;i++)
       {
           cin>>c>>d>>e>>f;
           low[i]=e;
           in[c]-=e;
           in[d]+=e;
           arr(c,d,f-e);
           arr(d,c,0);
       }
       int sum=0;
       for (int i=1;i<=n;i++)
       {
           if (in[i]>0) sum+=in[i];
           if (in[i]>0)
           { 
              arr(0,i,in[i]);
              arr(i,0,0);
           }
           if (in[i]<0)
           { 
              arr(i,n+1,-in[i]);
              arr(n+1,i,0);
           }
       }
       s=0; t=n+1;
       int tmpw=maxflow();
       if (sum==tmpw)
       {
         cout<<"YES"<<endl;
         for (int i=1;i<=m;i++)
           cout<<low[i]+a[i*2-1].flow<<endl;
       } else
       {
         cout<<"NO"<<endl;
       }
       cout<<endl;
    }
    return 0;
}

2.求有源有汇有下界最大流

建图与上面一样，把原来的汇点向源点连边INF

之后先求一遍可行流

之后再割掉t-s的边去求最大流

最终的答案即dinic+e[t--->s].flow(就是求可行流的时候的流量）

然后来建图：引入源点S汇点T，n天一天一点，m个少女每人一点。S到每一天连一条边，上界为Dt，下界为0。每个少女到汇点连一条边，上界为无穷大，下界为Gi。对每一天，连一条边到所有要拍照的少女，下界为L，上界为R。然后引入超级源点SS，超级汇点TT，像无源无汇上下界可行流那样建边，然后T到S连一条边，容量为无穷大。最后从源点S到汇点T跑一遍最大流就是答案，每条边容量的取法和无源无汇上下界可行流一样。

小证明：原图为什么是那样建的我就不解释了。

至于加入超级源点和超级汇点之后为什么要连一条边T→S呢，因为根据无源无汇上下界可行流的做法，原图无源无汇，是应该有一个环的，而现在没有……

之后再从S到T跑一遍，会不会影响之前的流量下界呢？满足下界是来自于点与超级源点和超级汇点之间的边，如果我们把这两个点删掉，边的容量就没法变了，也就不会影响到流量下界。而我没有删掉，是因为若求出可行解之后，超级源点和超级汇点关联的边都应该是满流量的，再跑最大流不可能经过这两个点。

那么跑可行流的时候，和跑最大流的时候，流量是分开算的，那为什么不用加上原来可行流的流量呢？因为原先我们连了一条边T→S，根据无源无汇图中，每个点的入流等于出流，跑可行流的流量已经存在了T→S这条边中，跑最大流就时候，T→S的反向边就有了可行流的容量。所以跑最大流的时候会加上可行流的容量，就不用再加一遍了。

3.求有源汇最小流算法

   3、做一次maxflow（）。

   4、源点（Sd）和起点（St）连一条容量为oo的边。

   5、再做一次maxflow（）。

   6、当且仅当所有附加弧满载时有可行流，最后答案为flow[（Sd->St）^1]，St到Sd最大流就是Sd到St最小流。