渐进符号 阶

渐近符号

基本的渐近符号：
O 表示上界，即小于等于 ≤

o 表示小于   <

Ω 表示下界，即大于等于 ≥ （与O相反）

ω 表示大于 >   （与o相反）

Θ 表示渐近等于 =

O( f(n) ) : 给出了算法运行时间的上界 ， 也就是最坏情况下的时间复杂度
Ω( f(n) ) : 给出了算法运行时间的下界 ， 也就是最好情况下的时间复杂度
θ ( f(n) ) : 给出了算法运行时间的上界和下界 ， 这里 θ ( f(n) ) 是渐进的确界

渐近符号O （大）

定义 ：对于f(n) = O(g(n))，表示存在适当的常数 C > 0,n_o>0，使得 f(n) ≤ C·g(n)，对于所有的n≥no  有 f(n)≤cg(n) 。

称为 f(n) 的阶小于 g(n) 的阶。

可以理解为：

f(n)是属于g(n)构成的函数集，可以定义O(g(n))为一个函数集  O(g(n)) = { f(n)：存在c>0、n0>0，使得0≤f(n)≤cg(n)，其中n ≥ n_o }

渐近符号o （小）

定义: f(n)=o(g(n))，当且仅当f(n)=O(g(n))  且f(n)!=Ω(g(n))。

渐近符号Θ

Θg(n) = Og(n）∩  Ωg(n) 。

对于 渐近符号O （大）

1.线性函数

f(n)=3n+2，当n>=2时，3n+2<=3n+n=4n。

所以f(n)=O(n)，这里c = 4，n0 = 2，g(n) = n, 那么cg(n) 也就是4n 就是f(n) 的上界

2.平方函数
f(n)=2n^2+3n+3，当n>=3时，3n+3<=4n，当n>=4时，4n<n^2，f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2)，这里c = 3，n0 = 4， g(n) = n^2 ,那么cg(n) 也就是3n^2 就是f(n) 的上界

3.指数函数
f(n)=6*2^n+n^2，当n>=4时，n^2<=2^n，所以当n>=4，有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
这里c是7，n0=4，f(n)=O(2^n)。

4.常数阶
f(n)=9，这里就直接记为O(1)，c为9，n0为0就可以了，f(n)=9<=9*1。