Leetcode题目437：路径总和III（递归-简单）

题目描述：

给定一个二叉树，它的每个结点都存放着一个整数值。

找出路径和等于给定数值的路径总数。

路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。

二叉树不超过1000个节点，且节点数值范围是 [-1000000,1000000] 的整数。

思路分析：题解来自（https://leetcode-cn.com/problems/path-sum-iii/solution/leetcode-437-path-sum-iii-by-li-xin-lei/）

路径的开头可以不是根节点，结束也可以不是叶子节点，是不是有点复杂？
如果问题是这样：找出以根节点为开始，任意节点可作为结束，且路径上的节点和为 sum 的路径的个数；
是不是前序遍历一遍二叉树就可以得到所有这样的路径？是的；
如果这个问题解决了，那么原问题可以分解成多个这个问题；
是不是和数线段是同一个问题，只不过线段变成了二叉树；
在解决了以根节点开始的所有路径后，就要找以根节点的左孩子和右孩子开始的所有路径，三个节点构成了一个递归结构；

代码实现：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
   /**
     * 求以 root 为根的二叉树，所有和为 sum 的路径；
     * 路径的开头不一定是 root，结尾也不一定是叶子节点；
     * @param root
     * @param sum
     * @return
     */
    public int pathSum(TreeNode root, int sum) {

        if (root == null) {
            return 0;
        }

        return paths(root, sum) 
                + pathSum(root.left, sum) 
                + pathSum(root.right, sum);
    }

    private int paths(TreeNode root, int sum) {

        if (root == null) {
            return 0;
        }

        int res = 0;
        if (root.val == sum) {
            res += 1;            
        }
        
        res += paths(root.left, sum - root.val);
        res += paths(root.right, sum - root.val);
        
        return res;
    }
}

时间复杂度 ：O(n)，n为树的节点个数；

空间复杂度：O(h)，h为树的高度；