辗转相除法

很多人都在用这种方法求最大公约数，但是知道为什么这样能求最大公约数的人就不多了。其实这是一个数论的定理：

y = ax + b => gcd(x, y) = gcd(b, x) (a, b, x, y ∈ Z)

只要证明了这个式子成立，只需要证明x、y的公约数和b、x的公约数相同即可，因为如果他们的约数都相同了，那么其中一定有一个是最大的。

首先介绍一些简单的数学知识：

y = ax(a, x, y ∈ Z)，就说x能整除y，记作x|y

x|y, x|z => x|ax + bz（这个定理很简单就不做证明了）

算法的证明如下

设d|x, d|y

d|x, d|y => d|y-ax 即 d|b

所以有d|x, d|y => d|x, d|b

即x、y的约数都是b、x的约数

 

假定x,y ∈ Z,x >= y, 令r[0] = x , r[1] = y 用辗转相除法有：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

r[0] = r[1] * q[1] + r[2]    0<=r[2]<r[1]        r[1] = r[2] * q[2] + r[3]    0<=r[3]<r[2]                    .                    .                    .        r[n-2] = r[n-1] * q[n-1] + r[n]    0<=r[n]<r[n-2]        r[n-1] = r[n]q[n]

 

在序列x=r[0]>r[1]>r[2]...>=0中最多有a项，最终余数为0

由y = ax + b => gcd(x, y) = gcd(b, x) (a, b, x, y ∈ Z)

gcd(x, y) = gcd(r[0], r[1]) = gcd(r[1], r[2])=...=r[n]

即：gcd(x, y )为辗转相除法中组后一个非0的余数

 

证明

简单的想法

设两数为a、b(a>b），求a和b最大公约数(a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q......r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）。

原理及其详细证明

设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

证毕。

附上一个简单的C++程序的实现：

#include<iostream>

using namespace std;

int main()

{
    int a,b;
    cout<<"请输入两个正整数："<<endl;
    cin>>a;
    cin>>b;     //输入两个要求公约数的整数

    int i,j;
    int temp;

    if(a>b)    {i=a;j=b;}   //通过if语句来计算出除数和被除数
    else       {i=b;j=a;}
    
    while(j!=0)  //辗转相除法来计算最大公约数
    {
        temp=i%j;
        i=j;
        j=temp;
    }

cout<<"两个数的最大公约数为："<<i<<endl;

return 0;