回溯法 0-1背包问题

一.回溯法

回溯法采用的是深度优先策略，回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
(1)三个步骤：
    1.针对所给问题，定义问题的解空间；
    2.确定易于搜索的解空间结构；
   3. 以深度优先的方式搜索解空间。
(2)优化方法：
搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：
    1.使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径。
    2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

(3)解空间树的类型分为排列树和子集树。

二.0-1背包问题

问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

#include <iostream>
using namespace std;
 
#define N 100   //默认有99个物品。第一个不使用
int w[N];    //每个物品的重量
int v[N];    //每个物品的价值
int x[N];     //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入
int n,c;       //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量

int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值

int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

/*
*回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包
*/
void backtrack(int t)
{
    //叶子节点，输出结果
    if(t>n)
    {
        //如果找到了一个更优的解
        if(CurValue>BestValue)
        {
            //保存更优的值和解
            BestValue = CurValue;
            for(int i=1; i<=n; ++i)
                BestX[i] = x[i];
        }
    }
    else
    {
        //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
        for(int i=0; i<=1; ++i)
        {
            x[t]=i;
 
            if(i==0) //不放入背包
            {
                backtrack(t+1);
            }
            else //放入背包
            {
                //约束条件：当前物品是否放的下
                if((CurWeight+w[t])<=c)
                {
                    CurWeight += w[t];
                    CurValue += v[t];
                    backtrack(t+1);
                    CurWeight -= w[t];
                    CurValue -= v[t];
                }
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
 
    cout<<"请输入物品的个数："<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cout<<"请输入背包的限制容量："<<endl;
    cin>>c;
    
    backtrack(1);
    
    cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl;
    cout<<"(";
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<BestX[i]<<" ";
    cout<<")";
    return 0;
}

#include <iostream>
using namespace std;
 
#define N 100   //默认有99个物品。第一个不使用
int w[N];    //每个物品的重量
int v[N];    //每个物品的价值
int x[N];     //x[i]=1：物品i放入背包，0代表不放入
int n,c;       //n：一共有多少物品，c：背包的最大容量

int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值

int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
 
void input()
{
    cout<<"请输入物品的个数："<<endl;
    cin>>n;
    cout<<"请输入每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cout<<"请输入背包的容量："<<endl;
    cin>>c;
}
void output()
{
    cout<<"最优值是:"<<BestValue<<endl;
    cout<<"(";
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<BestX[i]<<" ";
    cout<<")";
 
}
/*
*回溯函数 参数t表示当前处在第几层做抉择，t=1时表示当前在决定是否将第一个物品放入背包
*/
void backtrack(int t,int CurWeight,int CurValue,int rw,int x[])
{
    //初始调用时rw为所有物品重量和 
    if(t>n)
    {
        //如果找到了一个更优的解
        if(CurWeight==c&&CurValue>BestValue)
        {
            //保存更优的值和解
            BestValue = CurValue;
            for(int i=1; i<=n; ++i)
                BestX[i] = x[i];
        }
    }
    else
    {
        //遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
        if(CurWeight+w[t]<=c) //左孩子结点剪枝 
        {
            x[t]=1;//选取第i个物品回溯 
            backtrack(t+1,CurWeight+w[t],CurValue+v[t],rw-w[t],x);
        }
        x[t]=0;//不选取第i个物品回溯 
        if(CurWeight+rw>c)//右孩子结点剪枝 
        backtrack(t+1,CurWeight,CurValue,rw-w[t],x);        //rw都减去w[t]代表已经考虑过是否选取当前物品，不必再考虑 
    }
 
}
 
int main()
{
 
    input();
    backtrack(1,0,0,11,x);
    output();
    return 0;
}