#欧拉函数 ~20.8.27

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• 欧拉函数
• • 题 目:欧拉函数
  • 思 路：用公式求
  • 解 答
  • 题 目：线性筛法求欧拉函数
  • 思路：线性筛法。O(n) : 线性筛法模板，可以求出来很多东西。
  • 答案

欧拉函数

题 目:欧拉函数

AcWing 873. 欧拉函数

给定n个正整数ai，请你求出每个数的欧拉函数。
输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
输出共n行，每行输出一个正整数ai的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
3
3
6
8
输出样例：
2
2
4

思 路：用公式求

定义：1 ~ N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为ϕ(N)。
怎么求呢？？
有一个公式：
N = p₁^a1 X p₂^a2 X p₃^a3……X p_k^ak ;
ϕ(N) = N(1 - 1/p₁) X N(1 - 1/p₂) X N(1 - 1/p₃) ……X N(1 - 1/p_k)；

例子：
N= 6 = 2 X 3；
ϕ(N) = 6 X （1 - 1/2）X (1 - 1/3) = 2

证明：容斥原理 。
1 ~ n 中n的质因子有 p₁^a1 X p₂^a2 X p₃^a3……X p_k^ak ;
1、从1~ n中去掉 p₁^a1、 p₂^a2 、 p₃^a3……、 p_k^ak 的倍数。
=>N - N / p₁ - N / p₂ - N / p₃ …… N / p_k
2、把所有重复减去的倍数加上。=> + N/(p_i X p_j…)
3、减去所有p_ip_j…p_k的倍数……
……
4、以此类推，得到ϕ(N) = N(1 - 1/p₁) X N(1 - 1/p₂) X N(1 - 1/p₃) ……X N(1 - 1/p_k)；

解 答

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        int a;
        cin >> a;
        int res = a;
        for(int i = 2; i <= a / i; i ++)
              if(a % i == 0){
                res = res / i * (i - 1);
                
                while (a % i == 0) a /= i;
            }
        if(a > 1)
            res = res / a * (a - 1);
        
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

题 目：线性筛法求欧拉函数

AcWing 874. 筛法求欧拉函数

给定一个正整数n，求1~n中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示1~n中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：
6
输出样例：
12

思路：线性筛法。O(n) : 线性筛法模板，可以求出来很多东西。

线性筛法模板：

ll get_eulers(int n){
    for(int i = 2; i <= n;i ++){
        if(!st[i])//如果没被筛去，说明是质数
            primes[cnt ++] = i;//将质数入队
            
        for(int j = 0 ; primes[j] <= n / i;j ++){//干掉i的倍数
            st[primes[j] * i] = 1;
            if(i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

再进行更改：

ll get_eulers(int n){
    phi[1] = 1;//1当中与1互质的只有1自己
    for(int i = 2; i <= n;i ++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt ++] = i;
            phi[i] = i - 1;//如果一个数i是质数，那么它的欧拉函数值应该是 i-1
        }
        for(int j = 0 ; primes[j] <= n / i;j ++){
            st[primes[j] * i] = 1;
            if(i % primes[j] == 0){
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
            	/*
            	i % primes[j] == 0时， primes[j]是i的一个质因子 
            	phi[i * primes[j]]只是比phi[i]多了一个primes[j]而已，
            	primes[j]是i的一个质因子，所以
            	phi[i]里面已经有一个（1-1/pj）了，
            	所以phi[primes[j] * i]是i的欧拉值乘上i的质因子primes[j]
            	*/
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
            /*
            如果i % primes[j] ！= 0时， primes[j]是i的非质因子
            那么 phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i] * (1-(primes[j] - 1) / primes[j])
            即 phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
			*//
        }
    }
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        res += phi[i];
    return res;
}

答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1000010;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

ll get_eulers(int n){
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n;i ++){
        if(!st[i]){//
            primes[cnt ++] = i;//
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0 ; primes[j] <= n / i;j ++){//
            st[primes[j] * i] = 1;//
            if(i % primes[j] == 0){//
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    ll res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        res += phi[i];
    return res;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    
    cout << get_eulers(n) << endl;
    
    return 0;
}