卢卡斯定理

　　233333，本来是想自己写的，可写到一半发现有一个不会的地方，又去现学的，蓝后，百度到一篇非常好的博客，自认为简单易懂，博主提供的模板也好记，不如直接转载qwq

　　点击获取原文

首先给出Lucas（卢卡斯）定理：

    有非负整数A、B，和素数p，A、B写成p进制为：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同余。

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特别的，Lucas（x，0，p）=1。

    其实说白了，Lucas定理就是求组合数C（n，m）mod p（p是素数）的值，即(（ n! /(n-m)!）/m! )mod p，而我们

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（这里用到了一点逆元和费马小定理的知识），这样我们就可以在计算阶乘的过程中对p取模，不会造成溢出。（需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级）

　　看下面一道题：HDU3037

　　题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

　　题目大意：m个种子要放在n颗树上，问有多少种方法，结果对素数p取模。

　　分析：m个种子可以分成两部分：放在树上的和不放在树上的，我们可以假想出第n+1颗树，认为那些没放在树上的种子放在这颗假想树上，这样，问题就变为了m个种子放在n颗树上有多少种方案数了。等价于方程X1+X2+...+Xn+1=m有多少组非负整数解，即(X1+1)+(X2+1)+...+(Xn+1+1)=m+n+1有多少组正整数解。挡板原理：（m+n+1）个1，分成n+1部分的方案数==>C（n+m,n）。到这儿就很明显了，果断Lucas。

　　代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=150010;
int t;
ll n,m,p;
ll jc[maxn];
void work(ll mod)
{
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=p;++i)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
}
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans*a%p)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m)
{
    if(m>n)return 0;
    return jc[n]*qpow(jc[m]*jc[n-m]%p,p-2)%p;//定理，a%p的逆元等于a^(p-2)%p 
}
ll lucas(ll n,ll m)
{
    if(m==0)return 1;//c(n,0)=1;
    else return (C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p)%p;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
        work(p);
        printf("%lld
",lucas(n+m,m));
    }
    return 0;
}

　　对于p比较大的情况，不能对阶乘预先处理，需要单独处理。

　　题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

　　题目大意：求C（n，m）mod p。n,p是10^9数量级的。

　　代码：

#include <iostream>  
#include <string.h>  
#include <stdio.h>  
  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
  
LL n,m,p;  
  
LL quick_mod(LL a, LL b)  
{  
    LL ans = 1;  
    a %= p;  
    while(b)  
    {  
        if(b & 1)  
        {  
            ans = ans * a % p;  
            b--;  
        }  
        b >>= 1;  
        a = a * a % p;  
    }  
    return ans;  
}  
  
LL C(LL n, LL m)  
{  
    if(m > n) return 0;  
    LL ans = 1;  
    for(int i=1; i<=m; i++)  
    {  
        LL a = (n + i - m) % p;  
        LL b = i % p;  
        ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;  
    }  
    return ans;  
}  
  
LL Lucas(LL n, LL m)  
{  
    if(m == 0) return 1;  
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;  
}  
  
int main()  
{  
    int T;  
    scanf("%d", &T);  
    while(T--)  
    {  
        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);  
        printf("%I64d
", Lucas(n,m));  
    }  
    return 0;  
}