堆

概念：

堆：从逻辑角度上来看是一棵完全二叉树，从物理结构来看，一般是顺序存储结构（数组）。

堆保证一种性质：堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；             我们通常使用的都是二叉树，二叉堆，因此用二叉堆进行讲解。

分类：大根堆（根结点的权值大于等于子结点的权值），小根堆。

基本数据结构：

• 因为堆是完全二叉树，完全能够使用数组来实现。

vector<int> heap;  // 最好heap[0]插入一个不用的值，保持2n和2n+1的数学关系
int heap[maxn];

两个基本的操作：

• Top-Down调整堆结构。       将根结点和子结点中最大/小的值进行比较和替换。
• 时间复杂度：O（logN）         
• 适用于建堆和删除堆中元素。       

//对[low,high)进行调整；
//以大根堆为例，自顶向下进行调整
void DownAdjust(int low,int high){
    int i=low,j=i*2;
    // 存在孩子结点
    while(j<high){
        // 获得孩子结点中最大的值
        if(j+1<high && heap[j+1]>heap[j]){
            j++;
        }
        // 如果孩子结点的值比父节点的值大，进行替换
        if(heap[j]>heap[i]){
            swap(heap[i],heap[j]);
            i=j;
            j=i*2;
        }
        else{
            break;
        }
    }
}

• Down-Top调整堆结构。   只需要将插入的点和父结点进行比较。
• 适合于堆中插入元素。       

void UpAdjust(int low,int high){
     int i=high,j=high/2;
     while(i!=low){
        if(heap[j]<heap[i]){
             swap(heap[i],heap[j]);
             i=j;
             j/=2;
        }
         else{
             break;  //只要有一个大于，后面一定不需要再次调整;
        }
     }
}

堆的操作：

• 建堆：如果有n个点，放入数组中，对下标为n/2（向下取整）的结点开始，到下标为1的点，进行调整堆结构。（从上至下）（保证每个小堆成立，然后再建立大堆）。    如果采用UpAdjust，采用后n/2元素进行建堆。

void CreateHeap(){
    for(int i=n/2;i>=1;i++){
        DownAdjust(i,n);
    }
}

•  删除堆顶元素：将最后一个元素移到开头，让后重新调整一次堆，即可重新得到堆。 O(logN)

void DeleteTop(){
    heap[1]=heap[n--];
    DownAdjust(1,n);
}

• 插入结点：将元素插入在最后，然后调整一次堆，即可得到堆。 O(logN)

void Insert(int x){
    heap[++n]=x;
    UpAdjust(1,n);
}

• 堆排序：一个堆只能保证第一个元素为最大/最小，并不能保证依次递增/递减，可以通过使用高效的堆排序算法，O(NlogN)。 

算法思路：（假设下标从1-N）

1. swap(heap[1],heap[N])  // 将最值换到最后
2. DownAdjust(1,N-1)；   // 进行重新整理，那么这样N-1个元素重新形成堆，依次下去；

void HeapSort(){
    CreateHeap();
    for(int i=N;i>1;i++){
        swap(heap[1],heap[i]);
        DownAdjust(1,N-1);
    )
}