博弈练习

1.有N（N<=1000）个贪婪的海盗，他们得到了100,000个金币，决定分赃。他们都很精明，都想自己利益最大化，并采取如下策略： 1、 首先N人排好次序。 2、 由编号最大者给出分赃方案。 3、 所有人表决，50%及以上的人赞成就分赃成功，否则转4。 4、 杀掉提案者（总人数少了1），转2。  你的任务：判断第几号海盗得最多金币，有多少个。

Sol：有n个人的策略都源于有n-1个人的策略,即这个人的获利比n-1的时候获利高，就会赞成

n=1 1:100000

n=2 1:0 2:100000

n=3 1:1 2:0 3:99999

n=4 1:0 2:1 3:0 4:99999

n=5 1:1 2:0 3:1 4:0 5:99998

................ 

找规律可得答案为n 100000-(n-1)/2

2.Stan和Ollie在玩一个乘法游戏。游戏的每一轮需要将2~9中的某一个数字和已得的数p乘起来。Stan总是从p=1开始乘，然后是Ollie，轮流。在开始前他们约定，首次使p>=N（1 < N < = 1000000）的人获胜。假定每人都采取最优策略。

Sol:某个人取到n/9>p时就赢了，那么为了n/(2*9)<p<n/9是另一个一个人赢，会发现以18为周期小于9，大于9讨论即可.

3.有N（1<=N<=100）堆石子，每堆个数给定A1..AN（1<=Ai<=2,147,483,647），现有甲乙两人轮流取石子，由甲开始，每次选一堆，取走一定数目石子，1到Ai的一半取下整，如Ai=5时，可取1或2，Ai=6时，可取1或2或3，但Ai=1不能取。不能取者负，求甲是否获胜。假定每人都采取最优策略。 Hint：只需算出每堆石子的SG值g(i)，再按照Nim游戏方案进行计算。

Sol:先后暴力找到SG函数，然后找规律

　　  if (x%4==0) return x/2;

    if (x%4==2) return x/2;

    if (x%4==1) return x/4;

    if (x%4==3) return Sg(x/2);

4.他们规定在一个有向无环图上有N个棋子，参赛者可以将一个棋子沿着边的方向进行移动，但是一次只可以移动一步，到棋子都移动到出度为0的顶点时就不能再移动，此时无棋可走的参赛者就算输。假若参赛双方都足够聪明，当然，都没有机房Master 绅士LJ 聪明，请问无耻的peter是否存在必胜策略。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Maxn=200100;
const int Maxm=1000010;
struct EDGE {int to,next;}edge[Maxm<<1];
int head[Maxn],Sum,n,x,cnt,Sg[Maxn],t;
bool vis[Maxn],H[Maxn];
inline void Add(int u,int v) 
{edge[cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;}
void Dfs(int u)
{
    vis[u]=true;
    int Cnt=0;
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) Cnt++;
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        if (!vis[edge[i].to]) Dfs(edge[i].to); 
    for (int i=0;i<=Cnt;i++) H[i]=false;
    for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        if (Sg[edge[i].to]<=Cnt) H[Sg[edge[i].to]]=true;
    for (int i=0;i<=Cnt;i++)
        if (!H[i])
        {
            Sg[u]=i;
            return;
        }   
}
int main()
{
    // freopen("c.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    memset(head,-1,sizeof(head));
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&Sum);
        for (int j=1;j<=Sum;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            Add(i,x);
        }
    }
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    for (int i=0;i<n;i++)
        if (!vis[i]) Dfs(i);
    while (scanf("%d",&t)!=EOF)
    {
        int Ans=0;
        for (int i=1;i<=t;i++)
        {
            scanf("%d",&x); 
            Ans=Ans^Sg[x];
        }
        if (Ans) puts("WIN"); else puts("LOSE");
    }
    return 0;
}