说说高斯过程回归
作者介绍：新浪微博ID @妖僧老冯， 9月将赴南京大学（直博生），方向是机器学习与数据挖掘
编者：小便和作者打过几次交道，一直以为是他是已“修成正果”的某某博士，便“毕恭毕敬”地去邀请他写篇牛文。细聊之后才得知小伙子原来是90后，9月份才博士入学。这篇文章对GP进行了深度科普，数学公式是有一些的，但耐心读读，都不是问题的。高斯过程是机器学习领域一个基础的方法，同时又和其他方法有千丝万缕的联系，值得大家研究一下。文中一些细节也欢迎大家和作者一起探讨。另外，推荐下小伙子的刚开的个人博客：http://kingfengji.com/
今天起会陆续写一些机器学习的notes，这次介绍一个很酷的idea，aka 高斯过程回归（Gaussian Process Regression)。
网上讲高斯过程回归的文章很少，且往往从高斯过程讲起，我比较不以为然：高斯过程回归（GPR）， 终究是个离散的事情，用连续的高斯过程( GP) 来阐述，简直是杀鸡用牛刀。所以我们这次直接从离散的问题搞起，然后把高斯过程逆推出来。
这篇博客的主要目的是解释高斯过程回归这个主意是怎么想出来的，模型多了去了，为毛要用它。
这篇博客次要目的是我买了一个surface pro 2 , 我想看看好不好用。（答案是好用）
这篇博客有两个彩蛋，一个是揭示了高斯过程回归和Ridge回归的联系，另一个是介绍了贝叶斯优化具体是怎么搞的。后者其实值得单独写一篇博客，我在这里就是做一个简单介绍好了，但没准就不写了，想想就累。
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先说一说 高斯过程回归 的 Intuition:
假设有一个未知的函数f : R--> R ，
在训练集中，我们有3个点 x_1, x_2, x_3, 以及这3个点对应的结果，f1,f2,f3. (如图) 这三个返回值可以有噪声，也可以没有。我们先假设没有。
so far so good. 没什么惊讶的事情。
高斯过程回归的关键假设是：
给定 一些 X 的值，我们对 Y 建模，并假设 对应的这些 Y 值 服从 联合正态分布！
（更正式的定义后面会说到）
换言之，对于上面的例子，我们的假设是：
一般来说，这个联合正态分布的均值向量不用操心，假设成0 就蛮好。（讲到后面你就知道为什么了）
所以关键是，这个模型的 协方差矩阵K 从哪儿来。
为了解答这个问题，我们进行了另一个重要假设：
如果两个x 比较相似（eg, 离得比较近），那么对应的y值的相关性也就较高。换言之，协方差矩阵是 X 的函数。（而不是y的函数）
具体而言，对于上面的例子，由于x3和x2离得比较近，所以我们假设 f3和f2 的correlation 要比 f3和f1的correlation 高。
话句话说，我们可以假设协方差矩阵的每个元素为对应的两个x值的一个相似性度量：
那么问题来了，这个相似性怎么算？如何保证这个相似性度量所产生的矩阵是一个合法的协方差矩阵？
好，现在不要往下看了，你自己想3分钟。你也能想出来的。 提示：合法的协方差矩阵就是 (symmetric) Positive Semi-definite Matrix
（。。。。。。。。。。。。思考中）
好了时间到。
答案： Kernel functions !
如果你了解SVM的话，就会接触过一个著名的Mercer Theorem，（当然如果你了解泛函分析的话也会接触过 ），这个M定理是在说：一个矩阵是Positive Semi-definite Matrix当且仅当该矩阵是一个Mercer Kernel .
所以我们在svm里用过的任何Kernel都能拿过来用！
举个栗子，在高斯过程回归里，一种非常常见的Kernel就是SVM里面著名的高斯核（但是为了让命名不是那么混淆，文献中一般把这个Kernel称作 squared exponential kernel.
具体而言就是
好了，现在可以做回归分析了：
如果我们现在又有了一个新的点 x*
这个新的点对应的f* 怎么求？（如下图）
根据假设，我们假设 f* 和 训练集里的 f1, f2, f3 同属于一个 （4维的）联合正态分布！
也就是说，不仅 f1,f2,f3属于 一个3 维的联合正态分布（参数可以算出来），而且 f* 和 f1,f2,f3属于（另一个）4维的联合正态分布，用数学的语言来表达就是：
首先我们来看一看，这个4 x 4 的 矩阵能不能算出来：
黄色的大K，是依据训练集的3维联合分布算出来的，绿色的K*, 是测试点x* 分别和每一个训练集的x 求出来的。所以整个联合分布我们都知道了。
接下来的事情就好办了，我们既然已经知道（f,f*)的联合分布P(f, f*)的所有参数, 如何求p(f*) ？好消息是这个联合分布是正态的，我们直接用公式就能搞出来下面的结果（using the marginalization property）：
不难求出f* 隶属于一个1维的正态分布， 参数是：
所以这是一种贝叶斯方法，和OLS回归不同，这个方法给出了预测值所隶属的整个（后验）概率分布的。再强调一下，我们得到的是f* 的整个分布！不是一个点估计，而是整个分布啊同志们。
In addition, 不仅可以得到 f*这一个点的分布，我们对这个未知的 函数 也可以进行推断！换言之，如果把一个函数想成一个变量，那么高斯过程回归可以求出这个函数的分布来。(distribution over functions)
不幸的是，我们的计算机只能存储离散的数据，怎么表示一个连续的函数呢？
好办，我们对一个区间里面均匀地硬造出来1万个测试点x*, 然后求出这些测试点和训练集所对应的y（一个巨高维的向量）的联合分布，然后在这个巨高维的联合分布里采样一次，就得到了函数的（近似的）一个样本。
比如训练集就三个点，测试集1万个x，图中的每一个红点就分别是这些点f* 的均值，（当点很多的时候，就可以假设是一个“连续”的函数了）而蓝色的线代表一个或两个标准差的bound.
我们如果从这个分布中采样10次，就可以得到10个巨高维的向量，也就是从这个后验概率中sample出来的10个函数的sample. plot出来长这个样子：
含有已知数据（训练集）的地方，这些函数都离的很近（variance很低），没有数据的时候，这个spread就比较大。
也许你会问：我为毛要搞出来函数的分布？我为毛要关心这个variance. 在很多问题中，我们不仅仅需要知道预测值的点估计，而且要知道这个估计有多少信心在里面（这也是贝叶斯方法的好处之一）
举个例子：Multiple Bandit Problem
假设 我们已经有了几个油井，每个油井的价值不一样，我们在这个二维平面上，利用高斯过程回归，对每一个地理位置估计一个该位置对应的出油量。
而开发每一口井是有成本的，在预算有限的情况下，如果想尽可能少地花钱，我们就需要定义一个效益函数，同高斯过程回归的预测结果相结合，来指导我们下一次在哪儿打井。这个效益函数往往是 预测值 和 方差 的一个函数。
以上这个例子，就是高斯过程回归在贝叶斯优化中的一个典型应用。有时间专门写一篇。
- 好了，现在终于可以讲一讲高斯过程了。
高斯过程是在函数上的正态分布。（Gaussian distribution over functions)
具体而言就是
我们具体用的时候，模型假设是酱紫的：
我们观察到一个训练集 D
给定一个测试集 X* （ X* 是一个 N* x D 的矩阵， D是每一个点的维度）我们希望得到 一个 N* 维的预测向量 f*. 高斯过程回归的模型假设是
然后根据贝叶斯回归的方法，我们可以求出来 f*的后验概率：
This is it. 要啥有啥了。
下面着重说一下有噪声情况下的结果，以及此情况下和Ridge Regression的神秘联系。
当观测点有噪声时候，即， y = f(x) + noise, where noise ~N(0, sigma^2)
我们有
发现没，唯一区别就是 K 变成 了 Ky，也就是多加了一个sigma。
这个很像是一种regularization. 确实如此。
- 好了，下面就说说这个 GPR的 insight，这个模型到底想干什么
如果只有一个测试点，那么输出的f* 就是隶属于一个1维的正态分布了，具体而言：
再看，我们回想一下Ridge Regression （小编注：下图argmax应为argmin）
我们仔细观察一下上面那个蓝色的框框
所以说，ridge回归是一种最最最最简单的高斯过程回归，核函数就是简单的点积！
而高斯过程的核函数可以有很多，除了上面提到的squared exponential, 有整整一本书都在讲各种kernel和对应的随机过程
所以高斯过程是一个非常包罗万象的根基，类似于小无相功。
最后推荐一个网站
http://www.gaussianprocess.org/
是关于高斯过程的参考资料的最全面的一个网站。
么么哒。
2015.5.5