中国剩余定理（模数不互质）

上一篇博客写的是中国剩余定理模数不互质的情况，然鹅——还存在着模数互质的情况，而原来的做法就没有办法用了

那我们现在该怎么做呢？

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原来的思路是对于每一个方程，我们找出一个基础数，使得基础数满足该方程要求。因为是互质的关系，所以所有基础数加起来也不会冲突。（这个由最小公倍数保证）

还是这个栗子 存在一个数x，除以3余2，除以5余3，除以7余2，然后求这个数

3的基础数是35，满足除以3余2，而且是5和7的倍数，5，7同理。也就是说：基础数几倍几倍的变化是不会造成突然冒出来一个什么数%5或%7出现了余数

而现在模数不互质，还是举个栗子存在一个数x，除以6余4，除以8余2，除以9余7，然后求这个数

答案手推出来是34，如果仍然按照原来的做法lcm为72，6的基础数为。。。诶诶？怎么推不出来？72/6=12，ok，12不满足，再扩大，emm，还是不满足，再扩大。。。

好吧，相信大家已经发现了！12是6的倍数啊！再怎么扩大也不可能满足条件啊！

这就是互质与不互质的区别：不互质可能会导致基础数是模数的倍数，那么这个算法就凉凉了

那就让我们换一个思维方式吧！

可以先对第一个方程求解出一个满足条件的x，再去看下一个方程，在这个x的基础上，加上一个满足下一个方程的x'，同时不破坏前面方程的要求。

也就是说，我们去判断一个方程有没有解，解是多少。这，这不就是扩欧吗？

具体看代码吧~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10],m[10],tong[103];
int exgcd(int a,int &x,int b,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int x2,y2;
    int gcd=exgcd(b,x2,a%b,y2);
    x=y2;
    y=x2-a/b*y2;
    return gcd;
}
int main()
{
    freopen("crt.in","r",stdin);
    freopen("crt.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        scanf("%d%d",&a[1],&m[1]);
        //用lcm求当前到达过的方程中，所有模数的lcm,sum是最后的结果,但是每一次都会用
        //解出的x去更新它,fail判断是否有解 
        int lcm=m[1],sum=a[1],fail=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&a[i],&m[i]);
            a[i]=((a[i]-sum)%m[i]+m[i])%m[i];//sum就是要求的x,不断更新 
            int d=exgcd(lcm,x,m[i],y);//lcm*x+m[i]*y+sum=a[i]才能保证x%m[i]=a[i] 
            if(a[i]%d==0) x=x*(a[i]/d)%m[i];
            else fail=1;
            sum+=x*lcm;//注意是乘lcm哦！不然可能会出现前面的方程冲突 
            lcm=lcm/d*m[i];//到现在这一个方程了,所有模数的最小公倍数 
            sum=(sum%lcm+lcm)%lcm;
        }
        if(fail) printf("No
");
        else printf("%d
",sum); 
    }
}
/*
3
4 6
2 8
7 9

3
2
3 5
4 7
3
4 6
2 8
7 9
2
1 2
2 4
*/