• SDOI征途--斜率优化


    题目描述

    给定长为 n 的数列 a, 要求划分成 m 段,使得方差最小, 输出方差(*m^2)

    题解

    斜率优化好题

    准备部分

    设第 i 段长为 (len_i)
    先考虑方差((S^2))的式子:

    [S^2 = frac{1}{m}*sum_{i=1}^m(len_i - (frac{1}{m}*sum_{j=1}^{m}len_j) )^2 ]

    拆项得 -->

    [S^2 = frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}len_i^2+frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}frac{1}{m^2}sum_{j=1}^{m}len_j-2*frac{1}{m}*sum_{i=1}^{m}(len[i]*frac{1}{m}sum_{j=1}^{m}len_j) ]

    -->

    [S^2 = frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}len_i^2+frac{1}{m^2}sum_{i=1}^{m}len_i^2-2*frac{1}{m^2}*(sum_{i=1}^{m}len_i)*(sum_{j=1}^{m}len_j) ]

    -->

    [S^2 = frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}len_i^2-frac{1}{m^2}sum_{i=1}^{m}len_i^2 ]

    再把(m^2)乘进去

    [m*sum_{i=1}^{m}len_i^2-sum_{i=1}^{m}len_i^2 ]

    可发现$$-sum_{i=1}{m}len_i2$$ 这一坨是常数,也就是原序列和的平方

    然后开始DP

    设 f[i][k] 表示当前在第 i 个数,划分成 k 段
    转移时枚举第 k 段的起点 j+1 (终点是 i ,注意这里枚举的是j+1):

    [f[i][k] =f[j][k-1]+(sum_{l=j+1}^{i}a[l])^2 ]

    再用滚动数组g(也可不用)与前缀和sum记录一下 a[l] 优化就好
    也就是

    [f[i]=g[j]+(sum[i]-sum[j])^2 ]

    斜率优化

    把上面的DP转移方程拆开即得:

    [g[j]+sum[j]^2=-2*sum[i]*sum[j]+(sum[i]^2-f[i]) ]

    (g[j]+sum[j]^2) 看做 Y;
    (sum[j]^2) 看做 X;
    (-2*sum[i]) 看做 K;
    ((sum[i]^2-f[i])) 看做 B;
    然后用单调队列维护一下斜率递增的决策点就好

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define re register
    #define in inline
    #define get getchar()
    #define ll long long
    in int read()
    {
    	int t=0; char ch=get;
    	while(ch<'0' || ch>'9') ch=get;
    	while(ch<='9' && ch>='0') t=t*10+ch-'0', ch=get;
    	return t;
    }
    const int _=5001;
    int n,m;
    ll sum[_],f[_],g[_],q[_];
    #define db double
    in db  calc(int a,int b)
    {
    	ll Y1=g[a]+sum[a]*sum[a],Y2=g[b]+sum[b]*sum[b];
    	return 1.0*(Y1-Y2)/(sum[a]-sum[b]);
    }
    int main()
    {
    	n=read(),m=read();
    	for(re int i=1;i<=n;i++){
    		sum[i]=sum[i-1]+read();
    		g[i]=sum[i]*sum[i];
    	}
    	for(re int k=2;k<=m;k++)
    	{
    		int l=1,r=0;
    		q[l]=0;q[0]=0;
    		for(re int i=1;i<=n;i++)
    		{
    			while(l<r && calc(q[l],q[l+1]) < 2*sum[i]) l++;
    			int j=q[l];
    			f[i]=g[j]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
    			while(l<r && calc(q[r],i) < calc(q[r-1],i)) r--;
    			q[++r]=i;
    		}
    		memcpy(g,f,sizeof(g));
    	}
    	cout<<m*f[n]-sum[n]*sum[n]<<endl;
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yzhx/p/11779148.html
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