吴恩达机器学习笔记——梯度下降算法（1）

       在单变量线性回归问题中，主要有两个功能函数，分别为假设函数（Hypothesis）和代价函数（Cost Function），

其中假设函数为线性函数，本文中设为h_θ(x) = θ₀ + θ₁*x;

其代价函数为J（θ₀，θ₁） = 1 / ( 2 * m ) * Σ(h(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾)²

x⁽ⁱ⁾:训练集中的第i组数据

y^(i):训练集中的第i组结论

       我们需要解决的问题是在单变量线性回归问题中，确定θ的值使代价函数取得最小值，而我们知道J(θ)在二维（如果是多维取偏导数）中的取值类似于弓形，如下图所示，所以我们使用梯度下降算法逐步迭代找出使得J（θ）值最小时候的θ值。

梯度下降算法的描述可以表示为：

其中α为学习速率，可以控制步伐。

需要注意的是，算法中的两个theta值必须保证同时更新，梯度下降算法求得的是局部最优解。

以此类推，多元线性回归问题梯度下降算法的过程如下：

Hypothesis：

　　h_θ(x) = θ^Tx = θ₀x₀ + ...+θ_nx_n

Parameters:

　　θ₀,θ₁,...,θ_n

Cost Function:

　　J（θ₀，θ₁,...,θn） = 1 / ( 2 * m ) * Σ(h_θ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾)²

Gradient Descent:

   ，即

　　Repeat{

　　　　θ_j := θ_j - α * (1/m)Σ(h^_θ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾) * x_j⁽ⁱ⁾

　　}(j = 0,1,2,...,n)