CF396E On Iteration of One Well-Known Function [欧拉函数 III]

$On Iteration of One Well-Known Function$

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$mathcal{Description}$
给出 $n=prodlimits_{i=1}^mp_i^{a_i}$, 求 $φ(φ(...φ(n)))$ .

$mle10^5, p_ile10^6, a_i le 10^{17}, k le 10^{18} .$

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$正解部分$
因为 $varphi(n)=nprodlimits_{i=1}^mdfrac{p_i-1}{p_i}$,
所以对一个整数 $x$ 进行一次 $varphi$ 操作即 $↓$

• 乘一次 $prodlimits_{i=1}^{m}frac{1}{p_i}$, 即$p_i$项的幂数减 $1$ .
• 乘一次 $prodlimits_{i=1}^{m}(p_i-1)$, 对 $p_i-1$ 分解质因数, 使得对应的较小的质数的幂数增加若干.

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那么怎么快速地去求解本题的式子呢?

从小到大共有$10^6$个质数, 对每个质数单独处理,
设当前质数为 $p_i$, 还需进行 $left_i$ 次 $varphi$ 操作, 指数为 $a_i$,

为保证效率最大化, 将 $p_i$ 进行 $t=min(a_i, left_i)$ 次 $varphi$ 操作,
这样会使得 $(p_i-1)^t$ 分解, “散落” 到比$p_i$ 更小的质数中,
所以需要循环往复地对每个质数进行这个操作, 直到没有任何质数有操作的余地 .

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对当前 $p_i$, 若进行了 $t$ 次 $phi$ 操作, 则需要在指数为 $0$ 时, $SOS_i = t-1$ 次操作不去减 $left_i$, 因为可能还有指数不为 $0$ 的希望,
过了 $SOS_i$ 后若指数仍然为 $0$, 表示没救了, 需要使 $left_i$ 减小 .

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$实现部分$
在质数筛时记录每个数 $x$ 的最小质因子 $come[x]$, 分解质因数时, 就可以利用 $come[x]$ 直接分解 .

记得在开始时每个质数的 $left$ 都为 $K$, 因为每个质数都有可能参与运算 .

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define reg register
typedef long long ll;

const int maxn = 1e6+5;

int M;
int p_cnt;
int p[maxn];
int q[maxn];
int Mp[maxn];
int come[maxn];

ll K;
ll a[maxn];
ll SOS[maxn];
ll left[maxn];

void Sieve(){
        for(reg int i = 2; i < maxn; i ++){
                if(!come[i]) come[i] = i, p[++ p_cnt] = i, Mp[i] = p_cnt;
                for(reg int j = 1; j <= p_cnt && i*p[j] < maxn; j ++){
                        int t = i*p[j];
                        come[t] = p[j];
                        if(i % p[j] == 0) break ;
                }
        }
}

int main(){
        //freopen("a.out", "w", stdout);
        Sieve();
        scanf("%d", &M);
        for(reg int i = 1; i <= M; i ++){
                scanf("%d", &q[i]);
                scanf("%I64d", &a[Mp[q[i]]]);
        }
        scanf("%I64d", &K);
        for(reg int i = 1; i <= p_cnt; i ++) left[i] = K;
        bool flag = 1;
        while(flag){
                flag = 0;
                for(reg int i = 1; i <= p_cnt; i ++)
                        if(a[i]){ 
                                if(!left[i]) continue ;
                                ll t = std::min(a[i], left[i]);
                                a[i] -= t, left[i] -= t;
                                SOS[i] += t-1, flag = 1;
                                int tmp = p[i]-1;
                                while(tmp != 1){
                                        int id = Mp[come[tmp]];
                                        a[id] += t;
                                        tmp /= come[tmp];
                                }
                        }else if(SOS[i]) SOS[i] --;
                        else if(left[i])left[i] --;
        }
        int Ans = 0;
        for(reg int i = 1; i <= p_cnt; i ++) if(a[i]) Ans ++;
        printf("%d
", Ans);
        for(reg int i = 1; i <= p_cnt; i ++)
                if(a[i]) printf("%d %I64d
", p[i], a[i]);
        return 0;
}