UVA11255 Necklace [Polya定理]

$Necklace$

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$mathcal{Description}$
见上方链接.

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$mathcal{Solution}$

• 先考虑 旋转同构,
  设顺时针旋转 $k$ 个, 共有 $num=gcd(k,N)$ 个循环节, 每个循环节的长度都为 $size=frac{N}{gcd(k,N)}$,
  要成功染色, 必须满足 $a\%size=b\%size=c\%size=0$ 才可以成功染色,
  将 $a,b,c$ 同时除 $size$,
  染色的方案数 为 $C_{a+b+c}^a*C_{b+c}^b$,

• 再考虑 对称同构,
  1.若 $N$ 为 奇数,

  • $a,b,c$ 颜色必须为 $1奇2偶$, 否则无解.
  • 若满足上述条件, 则设 $a$ 为奇数, 将 $a$ 减 $1$后, 三者除 $2$,
    方案数 为 $N*C_{a+b+c}^{a}*C_{b+c}^b$ .

  2.若 $N$ 为 偶数,

  • 对称轴穿过两个点,
    1. $a,b,c$ 两奇一偶,
       将两个奇数减去 $1$, 三者除$2$, 方案数 为 $N*C_{a+b+c}^a*C_{b+c}^b$.
    2. $a,b,c$ 全部为偶数, 三者除$2$, 方案数为 $frac{N}{2}*C_{a+b+c}^a*C_{b+c}^b$.
  • 对称轴不过点,要满足 $a,b,c$ 均为偶数
    将 $a,b,c$ 全部除 $2$, 方案数 为 $frac{N}{2}*C_{a+b+c}^a*C_{b+c}^b$

将所有方案加起来后 除 总置换数 $2(a+b+c)$ 即可.

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$mathcal{Code}$

#include<cstdio>
#define reg register
typedef long long ll;

int a, a1;
int b, b1;
int c, c1;
int N;
ll C[50][50];

int gcd(int a, int b){ return !b?a:gcd(b, a%b); }

ll Calc(){ return C[a1+b1+c1][a1] * C[b1+c1][b1]; }

void Init(){ 
        C[0][0] = 1;
        reg int j;
        for(reg int i = 1; i <= 45; i ++)
                for(j = 1, C[i][0]=1; j <= i; j ++) C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
}

void Work(){
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        N = a+b+c;
        ll Ans = 0;
        for(reg int k = 0; k < N; k ++){
                int size = N/gcd(k, N);
                if(a%size || b%size || c%size) continue ;
                a1 = a/size, b1 = b/size, c1 = c/size;
                Ans += Calc();
        }
        if(N & 1){
                int cnt = (a&1) + (b&1) + (c&1);
                if(cnt == 1){
                        if(a & 1) a1 = a-1>>1, b1 = b>>1, c1 = c>>1;
                        else if(b & 1) a1 = a>>1, b1 = b-1>>1, c1=c>>1;
                        else a1 = a>>1, b1 = b>>1, c1 = c-1>>1;
                        Ans += N * Calc();
                }
        }else{
                int cnt = (a&1) + (b&1) + (c&1);
                if(!cnt){
                        a1 = a>>1, b1 = b>>1, c1 = c>>1;
                        Ans += N*Calc();
                }else if(cnt == 2){
                        if(a%2 == 0) a1 = a>>1, b1 = b-1>>1, c1 = c-1>>1;
                        else if(b%2 == 0) a1 = a-1>>1, b1 = b>>1, c1 = c-1>>1;
                        else a1 = a-1>>1, b1 = b-1>>1, c1 = c>>1;
                        Ans += N*Calc();
                }
        }
        printf("%lld
", Ans/2/N);
}

int main(){
        Init();
        int T;
        scanf("%d", &T);
        while(T --) Work();
        return 0;
}