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  • 全体自然数的和是负十二分之一?

    “全体自然数的和是-1/12”这个惊人的结论已经在互联网上传播了许多年,那么,全体自然数的和是-1/12,这是怎么来的?

    一个最通俗,所以也最引人争议的做法,是一种看上去很简单的算术算法:

    首先令S0=1-2+3-4+5-6……

    我们在大学里的学过令它收敛到1/4的方法。

    再令全体自然数的和为S,减去这个S0,则有:

    S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16+……

      =4*(1+2+3+4+....)=4S

    也就是说-S0等于3个S,所以S等于负十二分之一。

    还有个误解在黎曼ζ(zeta)函数的解析延拓有

    得到了印证,让很多人深信不疑。

    下面我们探讨一下S0和 S到底存不存在:

    柯西和(就是高数书上的定义)

    级数收敛的必要条件是一般项的极限是0

    的一般项是

    其极限不是0,所以 S0 不收敛.

    的一般项是n ,其极限不是0,所以 S不收敛

    Cesaro和

    在此之前有必要了解一下Cesaro和的定义,它是部分和的平均,也就是

    在Cesaro和的意义下, S0还是不收敛的。

    这是因为 sum_{i=1}^{n}s_i 奇数项是 frac{n+1}{2} ,偶数项是0 ,故S_0=lim_{n 
ightarrow infty}{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}s_i} 这个极限根本不存在,也即S0 没有Cesaro和。

    广义Cesaro和

    那么,我们再拓展一下,既然一次平均不行,我们取部分和平均的平均,如何?

    lim_{n 
ightarrow infty}{frac{1}{n} sum_{k=1}^{n}(frac{1}{k}sum_{i=1}^{k}s_i)} 这就是广义Cesaro和。

    很幸运的是,这时候S0 终于可以求和了,它在广义Cesaro和的意义下是 1/4

    Ramanujan和(拉马努金和)

    Ramanujan断言,对于函数 f(x) ,定义新的和作为Ramanujan和:

    sum_{k=1}^{infty}f(k)=-frac{f(0)}{2}-sum_{k=1}^{infty}frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)

    小结

    S0没有柯西和,没有Cesaro和,有广义Cesaro和,有Ramanujan和

    S没有柯西和,没有Cesaro和,没有广义Cesaro和,有Ramanujan和

    严格来说,Rmanujan和,已经改变了原来“和”的定义。简单来说,不满足结合律

    举个例子:

    假设

     1+2+...=-frac1{12}

    那么

     0+1+2+...=-frac1{12}

    0=-frac1{12}+frac1{12}=(1-0)+(2-1)+...=1+1+...

    =1+(1+1+...)=1+0=1

    因此,

     0=1 

    显然,不成立

    再看下再黎曼ζ函数下的误解:

    由于黎曼ζ函数原本的定义是
     
    zeta(s)=sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n^{s}}}
     
    (其中s为复数),
    如果把s取为-1的话,等号右边就变成了1+2+3+...这样的“全体自然数之和”,似乎
     
    zeta(-1)=-frac{1}{12}
     
     
    就自然推出了“全体自然数之和等于负十二分之一”。但是要注意,原始的黎曼ζ函数是定义在s的实部大于1的区间中的,也就是说原始的ζ(s)在s=-1时根本没有意义
    那么这个
     
     zeta(-1)=-frac{1}{12}
     
    是怎么回事呢?这里就需要介绍“解析延拓”这个概念。
    假设两个函数分别在两个区域中解析,而这两个区域有公共部分,在公共部分上两个函数相等,那么就可以把这两个函数在两个区域的并集上的全体点的数值集,看成一个在两区域的并集上解析的新函数,此时这两个函数就是彼此的解析延拓。具体的例子可以去百度。重点就是, zeta(-1)=-frac{1}{12} 是在黎曼ζ函数解析延拓后得到的结果,可以认为此时的ζ(s)含义已经与之前不同,也自然不能将负十二分之一看成“全体自然数之和”
     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    evdev module-----uinput.py
    evdev module-----events.py
    evdev module-----device.py
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zcjcsl/p/9557748.html
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