[SDOI2011]计算器（快速幂，线性同余方程，BSGS）

题目描述

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：

1. 给定 (y,z,p)，计算 (y^z mod p) 的值；
2. 给定 (y,z,p)，计算满足 (xy equiv z pmod p) 的最小非负整数 (x)；
3. 给定 (y,z,p)，计算满足 (y^x equiv z pmod p) 的最小非负整数 (x)。

为了拿到奖品，全力以赴吧！

Analysis

模板大融合...

第一问就是一个快速幂，第二问就是线性同余方程比较基础的东西这里就不再赘述。

我们主要来看第三问怎么做（其实就是bsgs的模板）。

根据费马小定理有(y^{p-1} equiv 1 pmod p)，所以这东西是有循环节的。所以只要O(p-1)扫一遍判断就行

这里介绍一种更高效的算法：Baby-Step-Giant-Step(北上广深大步小步算法)，可以优化到(O(sqrt{p}))。

看到这个复杂度可能不少对分块熟悉的同学已经可以yy出做法了，其实bsgs就是用分块的思想。

先取一个(t)，可得(x=qt+r, 0 le r le t-1)，得到(y^{qt+r} equiv z pmod p)，这样写不舒服，换一种写法：(y^{(q+1)t - r'} equiv z pmod p)，即(y^{(q+1)t} equiv z imes y^{r'} mod p)。

先预处理出所有(b imes y^{r'})，当然尽量取更大的(r')然后枚举(q)即可。显然(t=sqrt{n})时最好。

下面给出这道题的代码，注意部分特判：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll y, z, p;
ll ksm(ll a, ll b, ll m) {
	ll ret = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) ret = (ret * a) % m;
		b = b >> 1;
		a = (a * a) % m;
	}
	return ret;
}
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &yy) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		yy = 0;
		return a;
	}
	ll g = exgcd(b, a % b, x, yy);
	ll tmp = x;
	x = yy;
	yy = tmp - a / b * yy;
	return g;
}
//计算 a^x=b(mod n) 
ll BSGS(ll a, ll b, ll n) {
        a %= n;
        b %= n;
	if (a == 0) return b == 0 ? 1 : -1;
        if (b == 1) return 0;
	ll t = sqrt(n) + 1;
	map<ll, ll> Hash;
	Hash.clear();
	for (int i = 0; i < t; i++) {
		ll val = b * ksm(a, i, n) % n;
		Hash[val] = i;
	}
	a = ksm(a, t, n);
	for (int i = 1; i <= t; i++) {
		ll now = ksm(a, i, n);
		if (Hash.find(now) != Hash.end()) now = Hash[now];
		else now = -1;
		if (now != -1) return i * t - now;
	}
	return -1;
}
int main() {
	int t, k;
	cin >> t >> k;
	while (t--) {
		cin >> y >> z >> p;
		if (k == 1) {
			cout << ksm(y, z, p) << "
";
		} else if (k == 2) {
			ll x0, y0;
			ll g = exgcd(y, p, x0, y0);
			if (z % g) {
				puts("Orz, I cannot find x!");
			} else {
				x0 = x0 * z / g;
				p = p / g;
				x0 = (x0 % p + p) % p;
				cout << x0 << "
";
			}
		} else {
			ll ans = BSGS(y, z, p);
			if (ans != -1) cout << ans << "
";
			else puts("Orz, I cannot find x!");
		}
	}
	return 0;
}