【复习笔记】主席树

昨天在写带修改主席树的时候，咸鱼zcysky发现自己似乎根本不会写主席树

于是正好找个空复习下……

主席树的原理不用我扯了，主席树为啥能求k大，大概在它可以用历史版本存下区间的前缀和，求的时候差分下就能提出我要求的区间。

不过这么搞的话不要忘了离散化。

1.kth number

就是上面的裸题，不要手贱写bits就好。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 100010
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
struct Node{int sum,ls,rs;}T[N*20];
int cnt;
void ins(int &num,int &x,int l,int r){
    T[cnt++]=T[x];x=cnt-1;T[x].sum++;
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(num<=mid)ins(num,T[x].ls,l,mid);
    else ins(num,T[x].rs,mid+1,r); 
}
int query(int i,int j,int k,int l,int r){
    if(l==r)return l;
    int t=T[T[j].ls].sum-T[T[i].ls].sum;
    int mid=(l+r)/2;
    if(k<=t)return query(T[i].ls,T[j].ls,k,l,mid);
    else return query(T[i].rs,T[j].rs,k-t,mid+1,r);
}
struct A{
    int x,idx;
    bool operator<(const A &s)const{
        return x<s.x;}
};
A a[N];
int rank[N],root[N];
int n,m;
int main(){
    T[0].ls=T[0].rs=T[0].sum=0;root[0]=0;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        for(register int i=1;i<=n;++i){
            scanf("%d",&a[i].x);
            a[i].idx=i;
        }
        sort(a+1,a+n+1);
        for(int i=1;i<=n;i++)rank[a[i].idx]=i;
        cnt=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            root[i]=root[i-1];
            ins(rank[i],root[i],1,n);
        }
        while(m--){
            int i,j,k;
            scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);
            int ans=a[query(root[i-1],root[j],k,1,n)].x;
            printf("%d
",ans);
        }
    }
    return 0;
}

哦注明下，这是我高一上学期写的，码风清奇……

不过总有人喜欢的。

2.luoogu P3567,bzoj3524 couriers（权限题）

真是的要什么权限题！洛谷提交地址

随手记录下size就好啦，不过这题甚至不用离散化23333

#include<bits/stdc++.h>
#define N 500005
using namespace std;
int n,m,a[N],ls[25*N],rs[25*N],size[25*N],cnt=0,rt[N];
void ins(int &o,int pre,int l,int r,int q){
    o=++cnt;int mid=(l+r)>>1;
    ls[o]=ls[pre];rs[o]=rs[pre];size[o]=size[pre]+1;
    if(l==r)return;
    if(q<=mid)ins(ls[o],ls[pre],l,mid,q);
    else ins(rs[o],rs[pre],mid+1,r,q);
}
int query(int x,int y,int l,int r,int q){
    if(l==r)return l;int mid=(l+r)>>1;
    int lsize=(size[ls[x]]-size[ls[y]]),rsize=(size[rs[x]]-size[rs[y]]);
    if(lsize>q)return query(ls[x],ls[y],l,mid,q);
    else if(rsize>q)return query(rs[x],rs[y],mid+1,r,q);
    else return 0;
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)ins(rt[i],rt[i-1],1,n,a[i]);
    while(m--){
        int l=read(),r=read();
        printf("%d
",query(rt[r],rt[l-1],1,n,(r-l+1)>>1));
    }
    return 0;
}

3.mex

啥是mex？就是SG函数的mex啊。

之前写的莫队，后来发现主席树也很资瓷。

注意从0开始就好。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005
#define M 6000005
using namespace std;
int n,q,cnt,a[N],ls[M],rs[M],rt[M],minv[M];
void ins(int &x,int fa,int l,int r,int q,int val){
    x=++cnt;minv[x]=minv[fa];
    ls[x]=ls[fa];rs[x]=rs[fa];
    if(l==r){minv[x]=val;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(q<=mid)ins(ls[x],ls[fa],l,mid,q,val);
    else ins(rs[x],rs[fa],mid+1,r,q,val);
    minv[x]=min(minv[ls[x]],minv[rs[x]]);
}
int query(int x,int l,int r,int q){
    if(l==r)return l;
    int mid=(l+r)>>1;
    if(minv[ls[x]]>=q)return query(rs[x],mid+1,r,q);
    else return query(ls[x],l,mid,q);
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
}
int main(){
    n=read();q=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)ins(rt[i],rt[i-1],0,1000000,a[i],i);
    while(q--){
        int x=read(),y=read();
        printf("%d
",query(rt[y],0,1000000,x));
    }
    return 0;
}

4.dynamic ranking
详见之前blog。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 10005
using namespace std;
inline int lowbit(int x){return x&-x;}
int n,m,sz,totn,totx,toty,a[N],b[N<<1],ca[N],cb[N],cc[N];
int xx[N],yy[N],rt[N],size[600*N],ls[600*N],rs[600*N];
void ins(int &o,int l,int r,int x,int q,int v){
    o=++sz;size[o]=size[x]+v;ls[o]=ls[x];rs[o]=rs[x];
    if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;
    if(q<=mid)ins(ls[o],l,mid,ls[x],q,v);
    else ins(rs[o],mid+1,r,rs[x],q,v);
}
int query(int l,int r,int q){
    if(l==r)return l;
    int sum=0,mid=(l+r)>>1;
    for(int i=1;i<=totx;i++)sum-=size[ls[xx[i]]];
    for(int i=1;i<=toty;i++)sum+=size[ls[yy[i]]];
    if(q<=sum){
        for(int i=1;i<=totx;i++)xx[i]=ls[xx[i]];
        for(int i=1;i<=toty;i++)yy[i]=ls[yy[i]];
        return query(l,mid,q);
    }
    else{
        for(int i=1;i<=totx;i++)xx[i]=rs[xx[i]];
        for(int i=1;i<=toty;i++)yy[i]=rs[yy[i]];
        return query(mid+1,r,q-sum);
    }
}
void add(int x,int v){
    int k=lower_bound(b+1,b+totn+1,a[x])-b;
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))ins(rt[i],1,totn,rt[i],k,v);
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
}
int main(){char s[20];
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),b[++totn]=a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",s);ca[i]=read();cb[i]=read();
        if(s[0]=='Q')cc[i]=read();else b[++totn]=cb[i];
    }
    sort(b+1,b+totn+1);
    totn=unique(b+1,b+totn+1)-b-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)add(i,1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(cc[i]){
            totx=toty=0;
            for(int j=ca[i]-1;j;j-=lowbit(j))xx[++totx]=rt[j];
            for(int j=cb[i];j;j-=lowbit(j))yy[++toty]=rt[j];
            printf("%d
",b[query(1,totn,cc[i])]);
        }
        else{add(ca[i],-1);a[ca[i]]=cb[i];add(ca[i],1);}
    }
}

5.任务查询系统
这里是bzoj的地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3932

按照时间随意差分，差分完上树就行。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
using namespace std;
int n,m,pre=1,totn,h[N],rt[N],cnt=0,ls[50*N],rs[50*N],size[50*N],sumv[50*N];
vector<int>a[N];
void ins(int &o,int pre,int l,int r,int q,int v){
    o=++cnt;ls[o]=ls[pre];rs[o]=rs[pre];
    size[o]=size[pre]+v;sumv[o]=sumv[pre]+h[q]*v;
    if(l==r)return;int mid=(l+r)>>1;
    if(q<=mid)ins(ls[o],ls[pre],l,mid,q,v);
    else ins(rs[o],rs[pre],mid+1,r,q,v);
}
int query(int o,int l,int r,int q){
    if(q>=size[o])return sumv[o];
    if(l==r)return sumv[o]/size[o]*q;
    int mid=(l+r)>>1,ans=query(ls[o],l,mid,q);
    if(q>size[ls[o]])ans+=query(rs[o],mid+1,r,q-size[ls[o]]);
    return ans;
}
inline int read(){
    int f=1,x=0;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
    return f*x;
}
int main(){
    m=read();n=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read(),z=read();
        a[x].push_back(z);a[y+1].push_back(-z);
        h[i]=z;
    }
    sort(h+1,h+m+1);totn=unique(h+1,h+m+1)-h-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        rt[i]=rt[i-1];
        for(int j=0;j<a[i].size();j++){
            int k=1;if(a[i][j]<0)k*=-1,a[i][j]*=-1;
            ins(rt[i],rt[i],1,totn,lower_bound(h+1,h+totn+1,a[i][j])-h,k);
        }
    }
    while(n--){
        int X=read(),A=read(),B=read(),C=read();
        printf("%d
",pre=query(rt[X],1,totn,1+((long long)A*pre+B)%C));
    }
    return 0;
}

啊呸这鬼题目，n,m怎么是反的啊！

为了这个sb错误找半天的zcysky是不是也是sb啊……