最大子段和问题
一、问题描述
给定长度为n的整数序列，a[1...n], 求[1,n]某个子区间[i , j]使得a[i]+…+a[j]和最大。
例如(-2,11,-4,13,-5,2)的最大子段和为20,所求子区间为[2,4]，子序列是(11，-4,13)，最大子段和是20。
二、解决方法
1、穷举法（初级版）：SimpleAlgorithmOfMaximumIntervalSumLow.java
最容易理解，
用三重循环，可遍历所有子区间，一个表示起始位置，一个表示终点位置，一个求当前子序列的和
1 package cn.com.zfc.everyday.test; 2 3 /** 5 * 6 * @title SimpleAlgorithmOfMaximumSegmentSumLow 7 * @describe 最大子段和的简单算法的初级版 8 * @author 张富昌 9 * @date 2017年4月9日下午10:45:51 10 */ 11 public class SimpleAlgorithmOfMaximumIntervalSumLow { 12 // 最大子段和的首元素在原序列中的位置 13 private static int startIndex; 14 // 最大子段和的尾元素在原序列中的位置 15 private static int endIndex; 16 17 public static void main(String[] args) { 18 // 原序列 19 int[] array = { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }; 20 System.out.println("原序列是："); 21 // 输出原序列 22 printSegment(0, array.length - 1, array); 23 // 求最大子段和 24 int maxSum = maxSum(array); 25 System.out.println("最大字段和：" + maxSum); 26 System.out.println("最大子段和的首元素在原序列中的位置：" + startIndex + "，最大子段和的尾元素在原序列中的位置：" + endIndex); 27 System.out.println("最大字段和的子序列式："); 28 // 输出最大子段和序列 29 printSegment(startIndex, endIndex, array); 30 } 31 32 /** 33 * 34 * @param array：原序列 35 * @return：最大子段和 36 */ 37 private static int maxSum(int[] array) { 38 // 假设最大子段和为 0 39 int maxSum = 0; 40 // 双重 for 循环遍历所有的子序列 41 for (int i = 0; i < array.length; i++) { 42 for (int j = 0; j < array.length; j++) { 43 // 一个 for 循环求当前子序列的和 44 int currentSum = 0; 45 for (int k = i; k <= j; k++) { 46 currentSum += array[k]; 47 } 48 if (currentSum > maxSum) { 49 maxSum = currentSum; 50 // 最大子段和的首元素在原序列中的位置 51 startIndex = i; 52 // 最大子段和的尾元素在原序列中的位置 53 endIndex = j; 54 } 55 } 56 } 57 return maxSum; 58 } 59 60 /** 61 * 输出序列 62 * 63 * @param start：序列的开始下标 64 * @param end：序列的结束下标 65 * @param array：要输出的序列 66 */ 67 private static void printSegment(int start, int end, int[] array) { 68 for (int i = start; i <= end; i++) { 69 System.out.print(array[i] + " "); 70 } 71 System.out.println(); 72 } 73 74 }
2、穷举法（升级版）：SimpleAlgorithmOfMaximumIntervalSumHigh.java
避免子序列的重复计算
1 package cn.com.zfc.everyday.test; 2 3 /** 4 * 5 * @title SimpleAlgorithmOfMaximumIntervalSumHigh 6 * @describe 最大子段和的简单算法的升级版 7 * @author 张富昌 8 * @date 2017年4月9日下午11:17:33 9 */ 10 public class SimpleAlgorithmOfMaximumIntervalSumHigh { 11 // 最大子段和的首元素在原序列中的位置 12 private static int startIndex; 13 // 最大子段和的尾元素在原序列中的位置 14 private static int endIndex; 15 16 public static void main(String[] args) { 17 // 原序列 18 int[] array = { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }; 19 System.out.println("原序列是："); 20 // 输出原序列 21 printSegment(0, array.length - 1, array); 22 // 求最大子段和 23 int maxSum = maxSum(array); 24 System.out.println("最大字段和：" + maxSum); 25 System.out.println("最大子段和的首元素在原序列中的位置：" + startIndex + "，最大子段和的尾元素在原序列中的位置：" + endIndex); 26 System.out.println("最大字段和的子序列式："); 27 // 输出最大子段和序列 28 printSegment(startIndex, endIndex, array); 29 } 30 31 /** 32 * 33 * @param array：原序列 34 * @return：最大子段和 35 */ 36 private static int maxSum(int[] array) { 37 // 假设最大子段和为 0 38 int maxSum = 0; 39 // 双重 for 循环遍历所有的子序列 40 for (int i = 0; i < array.length; i++) { 41 // 当前序列的和 42 int currentSum = 0; 43 // 注意 j 的初始值，避免重复计算 44 for (int j = i; j < array.length; j++) { 45 currentSum += array[j]; 46 if (currentSum > maxSum) { 47 maxSum = currentSum; 48 // 最大子段和的首元素在原序列中的位置 49 startIndex = i; 50 // 最大子段和的尾元素在原序列中的位置 51 endIndex = j; 52 } 53 } 54 } 55 return maxSum; 56 } 57 58 /** 59 * 输出序列 60 * 61 * @param start：序列的开始下标 62 * @param end：序列的结束下标 63 * @param array：要输出的序列 64 */ 65 private static void printSegment(int start, int end, int[] array) { 66 for (int i = start; i <= end; i++) { 67 System.out.print(array[i] + " "); 68 } 69 System.out.println(); 70 } 71 72 }
3、分治算法：BranchAlgorithmOfMaximumIntervalSum.java
1 package cn.com.zfc.everyday.test; 2 3 /** 4 * 5 * @title BranchAlgorithmOfMaximumIntervalSum 6 * @describe 最大子段和的分治算法： 7 * 所有子区间[start, end]只可能有以下三种可能性: 8 * 在[1,n/2]这个区域内 9 * 在[n/2+1,n]这个区域内 10 * 起点位于[1,n/2],终点位于[n/2+1,n]内 11 * 以上三种情形的最大者，即为所求. 12 * 前两种情形符合子问题递归特性，所以递归可以求出. 对于第三种情形，则需要单独处理. 13 * 第三种情形必然包括了n/2和n/2+1两个位置，这样就可以利用第二种穷举的思路求出: 14 * 以n/2为终点，往左移动扩张，求出和最大的一个startSum,以n/2+1为起点，往右移动扩张，求出和最大的一个endSum 15 * startSum + endSum是第三种情况可能的最大值 16 * @author 张富昌 17 * @date 2017年4月9日下午10:46:32 18 */ 19 public class BranchAlgorithmOfMaximumIntervalSum { 20 21 public static void main(String[] args) { 22 // 原序列 23 int[] array = { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }; 24 System.out.println("原序列是："); 25 // 输出原序列 26 printSegment(0, array.length - 1, array); 27 // 求最大子段和 28 int maxSum = maxSum(array); 29 System.out.println("最大字段和：" + maxSum); 30 } 31 32 private static int maxSum(int[] array) { 33 return maxSubSum(array, 1, array.length - 1); 34 } 35 36 private static int maxSubSum(int[] array, int start, int end) { 37 int sum = 0; 38 if (start == end) { 39 sum = array[start] > 0 ? array[end] : 0; 40 } else { 41 int center = (start + end) / 2; 42 // 以n/2为终点，往左移动扩张，求出和最大的一个startSum 43 int startSum = maxSubSum(array, start, center); 44 // 以n/2+1为起点，往右移动扩张，求出和最大的一个endSum 45 int endSum = maxSubSum(array, center + 1, end); 46 int s1 = 0; 47 int starts = 0; 48 // 以n/2为终点，往左移动扩张，求出和最大的一个 startSum 49 for (int i = center; i >= start; i--) { 50 starts += array[i]; 51 if (starts > s1) { 52 s1 = starts; 53 } 54 } 55 int s2 = 0; 56 int ends = 0; 57 // 以n/2+1为起点，往右移动扩张，求出和最大的一个 endSum 58 for (int i = center + 1; i <= end; i++) { 59 ends += array[i]; 60 if (ends > s2) { 61 s1 = ends; 62 } 63 } 64 sum = s1 + s2; 65 if (sum < startSum) { 66 sum = startSum; 67 } 68 if (sum < endSum) { 69 sum = endSum; 70 } 71 } 72 return sum; 73 } 74 75 /** 76 * 输出序列 77 * 78 * @param start：序列的开始下标 79 * @param end：序列的结束下标 80 * @param array：要输出的序列 81 */ 82 private static void printSegment(int start, int end, int[] array) { 83 for (int i = start; i <= end; i++) { 84 System.out.print(array[i] + " "); 85 } 86 System.out.println(); 87 } 88 89 }
4、动态规划算法
1 package cn.com.zfc.everyday.test; 2 3 /** 4 * 5 * @title DynamicProgrammingOfMaximumIntervalSum 6 * @describe 最大子段和的动态规划算法 7 * @author 张富昌 8 * @date 2017年4月9日下午10:47:00 9 */ 10 public class DynamicProgrammingOfMaximumIntervalSum { 11 public static void main(String[] args) { 12 // 原序列 13 int[] array = { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }; 14 System.out.println("原序列是："); 15 // 输出原序列 16 printSegment(0, array.length - 1, array); 17 // 求最大子段和 18 int maxSum = maxSum(array); 19 System.out.println("最大字段和：" + maxSum); 20 } 21 22 /** 23 * 24 * @param array：原序列 25 * @return：最大子段和 26 */ 27 private static int maxSum(int[] array) { 28 int sum = 0; 29 int b = 0; 30 for (int i = 0; i < array.length; i++) { 31 if (b > 0) { 32 b += array[i]; 33 } else { 34 b = array[i]; 35 } 36 if (b > sum) { 37 sum = b; 38 } 39 } 40 return sum; 41 } 42 43 /** 44 * 输出序列 45 * 46 * @param start：序列的开始下标 47 * @param end：序列的结束下标 48 * @param array：要输出的序列 49 */ 50 private static void printSegment(int start, int end, int[] array) { 51 for (int i = start; i <= end; i++) { 52 System.out.print(array[i] + " "); 53 } 54 System.out.println(); 55 } 56 }