堆排序

1、堆建立

首先观察一个堆的向下调整过程。由于不满足最大堆的条件，对于不满足的元素，选择子节点中的最大元素交换。并更新被交换的子节点作为当前节点，继续调整，直至成为叶节点或满足最大堆的条件。

#define left(i) (2*i+1)
#define right(i) 2*(i+1)
#define parent(i) (i-1)/2

void _fix_down(int a[],int length, int index){
    int i =index;
    int critical_node = (length-2)/2;
    while(i<critical_node&&(a[i]<a[left(i)]||a[i]<a[right(i)])){
        int largest = i;
        if(left(i)<length-1&&a[i]<a[left(i)])
            largest = left(i);
        if(right(i)<length-1&&a[largest]<a[right(i)])
            largest = right(i);
        if(largest!=i){
            swap(a[largest],a[i]);
            i = largest;
        }
    }
}

则堆的建立过程如下，算法的思想是从非叶节点开始调整，直至根节点。

void build_heap(int a[],int length){
    int non_leaf = (length-2)/2;
    for(int index = non_leaf;index>=0;index++)
        _fix_down(a,length,index);
}

2、堆的插入

堆的插入是将数据插入至数组尾部，插入的数据有可能导致不满足最大堆的条件，所以我们需要有一个调整的过程。这个调整的过程称之为上溯。算法思想是对不满足的节点，与其父节点进行交换，更新父节点为当前节点，直至，满足条件或达到根节点。上溯的过程如下所示：

void _fix_up(int a[],int& length,int value){
    a[length] = value;
    ++length;
    int index = length-1;
    while(index>0&&a[parent(index)]<a[index]){
        swap(a[index],a[parent(index)]);
        index = parent(index);
    }
}

3、堆排序

堆的排序相当于一个出堆的过程。在删除一个元素时，总是从根节点开始，并且是将根节点的元素与最尾部的元素相交换，减少堆的大小。并进行调整。不断的出堆，就会形成一个升序的堆。所以堆排序本质上是一个出堆的过程，如下所示：

 

代码如下：

void heap_sort(int a[],int length){
    int index = length-1;
    while(index>1){
        swap(a[0],a[index]);
        _fix_down(a,index+1,0);
    }
}