最短路径问题

动态规划

引言——由一个问题引出的算法

考虑以下问题

[例1] 最短路径问题

现有一张地图，各结点代表城市，两结点间连线代表道路，线上数字表示城市间的距离。如图1所示，试找出从结点A到结点E的最短距离。

图 1

我们可以用深度优先搜索法来解决此问题，该问题的递归式为

其中是与v相邻的节点的集合，w(v,u)表示从v到u的边的长度。

具体算法如下：

function MinDistance(v):integer;
begin
 if v=E then return 0
  else
   begin
    min:=maxint;
    for 所有没有访问过的节点i do
     if v和i相邻 then 
      begin
        标记i访问过了;
        t:=v到i的距离+MinDistance(i);
        标记i未访问过;        
        if t<min then min=t;
      end;  
   end;
end;

开始时标记所有的顶点未访问过，MinDistance(A)就是从A到E的最短距离。

这个程序的效率如何呢？我们可以看到，每次除了已经访问过的城市外，其他城市都要访问，所以时间复杂度为O(n!)，这是一个“指数级”的算法，那么，还有没有更好的算法呢？

首先，我们来观察一下这个算法。在求从B1到E的最短距离的时候，先求出从C2到E的最短距离；而在求从B2到E的最短距离的时候，又求了一遍从C2到E的最短距离。也就是说，从C2到E的最短距离我们求了两遍。同样可以发现，在求从C1、C2到E的最短距离的过程中，从D1到E的最短距离也被求了两遍。而在整个程序中，从D1到E的最短距离被求了四遍。如果在求解的过程中，同时将求得的最短距离"记录在案"，随时调用，就可以避免这种情况。于是，可以改进该算法，将每次求出的从v到E的最短距离记录下来，在算法中递归地求MinDistance(v)时先检查以前是否已经求过了MinDistance(v)，如果求过了则不用重新求一遍，只要查找以前的记录就可以了。这样，由于所有的点有n个，因此不同的状态数目有n个，该算法的数量级为O(n)。

更进一步，可以将这种递归改为递推，这样可以减少递归调用的开销。

请看图1，可以发现，A只和B_i相邻，B_i只和C_i相邻,...，依此类推。这样，我们可以将原问题的解决过程划分为4个阶段，设S₁={A},S₂={B₁,B₂},S₃={C₁,C₂,C₃,C₄},S₄={D₁,D₂,D₃}，F_k(u)表示从S_k中的点u到E的最短距离，则

并且有边界条件

显然可以递推地求出F₁(A)，也就是从A到E的最短距离。这种算法的复杂度为O(n)，因为所有的状态总数（节点总数）为n，对每个状态都只要遍历一次，而且程序很简洁。

具体算法如下：

procedure DynamicProgramming;
 begin
  F5[E]:=0;
  for i:=4 downto 1 do
     for each u ∈Sk do
      begin
       Fk[u]:=无穷大;
       for each v∈Sk+1∩δ(u) do
         if Fk[u]>w(u,v)+Fk+1[v] then Fk[u]:=w(u,v)+Fk+1[v];
   end;
  输出F1[A]; 
 end;