一. 已知数列${a_{n}}$满足$a_{1}=1/2$且$a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2}$
(1) 证明：$1leq frac{a_{n}}{a_{n+1}}leq 2$
(2) 设数列${a_{n}^{2}}$的前$n$项和为$S_{n}$,证明$frac{1}{2(n+2)}leq frac{S_{n}}{n}leqfrac{1}{2(n+1)}$
二. 在数列${a_{n}}$中, $a_{1}=3$,$a_{n+1}a_{n}+lambda a_{n+1}+u a_{n}^2=0$
(1) 若$lambda=0,u=-2$, 求数列${a_{n}}$的通项公式
(2) 若$lambda = frac{1}{k_{0}}(k_{0}in N_{+},k_{0}geq 2),u=-1$,证明 $2+frac{1}{3k_{0}+1}<a_{k_{0}+1}<2+frac{1}{2k_{0}+1}$
三. 设函数$f(x)=e^{mx}+x^{2}-mx$
(1) 证明: $f(x)$在$(-infty,0)$单调递减，在$(0,+infty)$单调递增
(2) 若对任意的$x_{1},x_{2}in [-1,1]$,都有$|f(x_{1})-f(x_{2})|leq e-1$,求$m$的取值范围.
四. 已知函数$f(x)=ln (x+1),g(x)=k x (k in R)$
(1) 证明： 当$x>0$时,$f(x)<x$
(2) 证明：当$k<1$时存在$x_{0}>0$,使得任意的$xin (0,x_{0})$恒有 $f(x)>g(x)$
(3) 确定$k$的所有可能只使得存在$t>0$,对任意的$xin(0,t)$恒有$|f(x)-g(x)|<x^{2}$
五. 已知函数$f(x)=-2(x+a)ln x +x^{2}-2ax-2a^{2}+a (a>0)$
(1). 设$g(x)$是$f(x)$的导函数，讨论$g(x)$的单调性
(2) 证明存在$ain(0,1)$使得$f(x)geq 0$在区间$(1,+infty)$恒成立且$f(x)=0$在区间$(1,+infty)$内有唯一解
六. 已知$a>0$函数$f(x)=e^{ax}sin x (xgeq 0)$记$x_{n}$为$f(x)$的从小到大的第$n$个极值点，证明
(1) 数列$f(x_{n})$是等比数列
(2) 若$ageq frac{1}{sqrt{e^{2}-1}}$,则对一切$x_{n}<|f(x_{n})|$恒成立
七. 设函数$f(x)=ln (x+1)+a(x^{2}-x),a in R$
(1) 讨论函数$f(x)$极值点的个数
(2) 任意$x,f(x)geq 0$成立，求$a$的取值范围
八. 设$x_{n}$是曲线$y=x^{2n+2}+1$在点$(1,2)$处的切线与$x$轴交点的横坐标
(1) 求数列${x_{n}}$之通项公式
(2) 记$T_{n}=x_{1}^{2}x_{3}^{2}cdot x_{2n-1}^{2}$,证明$T_{n}geq frac{1}{4n}$
九. 数列${a_{n}}$满足$a_{1}+2a_{2}+cdot+na_{n}=4-frac{n+2}{2^{n-1}}$
(1) 求数列${a_{n}}$的前$n$项和$T_{n}$
(2) 令$b_{1}=a_{1}$，$b_{n}=frac{T_{n-1}}{n}+(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdot+frac{1}{n})a_{n} (ngeq 2)$，证明${b_{n}}$的前$n$项和$S_{n}$满足$S_{n}<2+2ln n$
十. 已知数列${a_{n}}$满足$a_{1}in N_{+},a_{1}leq 36$且当$a_{n}geq 18$时$a_{n+1}=2a_{n}$，其他$a_{n+1}=2a_{n}-36$,记集合$M={a_{n}|nin N_{+}}$
(1) 若$a_{1}=6$写出$M$中所有元素
(2) 若集合$M$存在一个元素是3的倍数则$M$中所有元素为3的倍数
(3) 求集合$M$中元素个数的最大值
十一. 已知集合$X={1,2,3},Y_{n}={1,2,3,cdot,n}$，设$S_{n}={(a,b)| ain X,bin Y_{n}}$并且$S_{n}$元素满足$a$整除$b$或$b$整除$a$， $f(n)$表示$S_{n}$所含元素的个数, 写出$f(n)$的表达式.