1 $$eex ea Embox{ 是开集}&lra E^o=E\ &lra forall P_0in E, exists U(P_0)subset E. eea eeex$$
2 $$eex ea Embox{ 是闭集}&lra E'subset E\ &lra E^-=E\ &lra mbox{若 }E i P_n o P_0,mbox{ 则 }P_0in E. eea eeex$$
3 对 $Esubset bR^n$, $E^o$ 是开集, $E',E^-$ 是闭集.
4 (开集、闭集的对偶性): $$ex Embox{ 是开 (闭) 集}lra E^cmbox{ 是闭 (开) 集}. eex$$ 证明: 设 $E$ 是开集, 往证 $E^c$ 是闭集: $E^{c-}=E^{oc}=E^c$.
设 $E$ 是闭集, 往证 $E^c$ 是开集: $E^{co}=E^{-c}=E^c$.
5 任意多个开集之并是开集, 有限多个开集之交是开集;
任意多个闭集之交是闭集, 有限多个闭集之并是闭集.
证明: 设 $sed{E_lambda}_{lambdain vLa}$ 是开集族, 往证 $dps{cup_{lambdain vLa}E_lambda}$ 是开集: $$eex ea P_0in cup_{lambdain vLa}E_lambda & a exists lambda_0in vLa,st P_0in E_{lambda_0}\ & a exists U(P_0)subset E_{lambda_0}subset cup_{lambdain vLa}E_lambda. eea eeex$$
设 $sed{E_i}_{i=1}^n$ 是开集, 往证 $dps{cap_{i=1}^m E_i}$ 是开集: $$eex ea P_0in cap_{i=1}^m E_i & a forall i, P_0in E_i\ & a forall i, exists U(P_0,delta_i)subset E_i\ & a U(P_0,delta)subset cap_{i=1}^m E_iquadsex{delta=min delta_i}. eea eeex$$
另外两个直接是 De Morgan 公式的推论.
6 例: $$ex cap_{n=1}^inftysex{a-frac{1}{n},b+frac{1}{n}}=[a,b],quad cup_{n=1}^inftysez{a+frac{1}{n},b-frac{1}{n}}=(a,b). eex$$
7 (正规性) 设两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 则存在开集 $O_1supset F_1, O_2supset F_2$, 使得
$O_1cap O_2=vno$.
8 思考: 两闭集 $F_1,F_2$ 不交, 能否推出 $d(F_1,F_2)=0$?
答案: 不能! 比如 $bR^2$ 中的两个闭集: $$ex F_1=sed{(x,0);xinbR},quad F_2=sed{(x,e^x);xinbR}. eex$$
9 $$eex ea Embox{ 是紧集}&lra sex{Esubset cup_{lambdain vLa}O_lambda a Esubset cup_{i=1}^m O_i}\ &lra Embox{ 是有界闭集}. eea eeex$$ 证明: $la$ Heine-Borel 有限覆盖定理.
$ a$ $E$ 有界: $$ex Esubset cup_{Pin M}U(P,1) a Esubset U(P_1,1)cupcdotscup U(P_m,1). eex$$
$E$ 是闭集: $$eex ea P_0in E^c& a forall Pin E, delta_P=d(P,P_0)>0\ & a Esubset cup_{Pin M}Usex{P,frac{delta_P}{2}}\ & a Esubset Usex{P_1,frac{delta_{P_1}}{2}}cup cdotscup Usex{P_m,frac{delta_{P_m}}{2}}\ & a Usex{P,delta}subset M^cquadsex{delta=frac{1}{2}min delta_{P_i}}. eea eeex$$
10 $$eex ea Embox{ 是自密集 (dense-in-itself)} &lra Esubset E'\ &lra Embox{ 没有孤立点}; eea eeex$$ $$eex ea Embox{ 是完备集 (complete set)}&lra E=E'\ &lra Embox{ 是自密闭集}. eea eeex$$ (1) 例: $vno$ 是自密集, 也是完备集;
在 $bR$ 中, $bQ$ 是自密集, $[a,b]$ 和 $bR$ 是完备集.
11 作业: Page 51, T 7.