设 $fin C^{n+1}(bR)$, 试证: 对 $forall ainbR$, $$ex frac{ d^n}{ d x^n}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}=frac{f^{(n+1)}(a)}{n+1}. eex$$
证明: 对 $n$ 用数学归纳法. 当 $n=1$ 时, $$eex ea frac{ d}{ d x}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} &=lim_{x o a}frac{frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}{x-a}\ &=lim_{x o a}frac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2}\ &=lim_{x o a}frac{f'(x)-f'(a)}{2(x-a)}\ &=frac{f''(a)}{2}. eea eeex$$ 假设结论在 $n$ 时成立, 则在 $n+1$ 时, $$eex ea frac{ d^{n+1}}{ d x^{n+1}}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} &=frac{ d^n}{ d x^n}sez{frac{ d}{ d x}sex{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}_{x=a}\ &=frac{ d }{ d x^n} sez{ frac{f'(x)-f'(a)}{x-a} -frac{frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}{x-a} }_{x=a}\ &=frac{(f')^{n+1}(a)}{n+1} -frac{1}{n+1}frac{ d ^{n+1}}{ d x^{n+1}}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a}quadsex{mbox{归纳假设}}. eea eeex$$ 于是 $$ex frac{ d^{n+1}}{ d x^{n+1}}sez{frac{f(x)-f(a)}{x-a}}_{x=a} =frac{1}{1+frac{1}{n+1}}cdot frac{1}{n+1} f^{(n+2)}(a) =frac{f^{(n+2)}(a)}{n+2}. eex$$