设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'(a)=f'(b)$, 试证: $$ex exists xiin (a,b),st f'(xi)(xi-a)=f(xi)-f(a). eex$$
证明:
(1) 记 $y=f(x)$, 则 $$ex frac{ d y}{ d x}(x-a)=y-f(a)lra [y-f(a)] d x-(x-a) d y=0. eex$$ 由于 $$ex frac{M_y-N_x}{N}=frac{1-(-1)}{-(x-a)}=frac{-2}{x-a} eex$$ 而上述 ODE 有积分因子 $$ex e^{-2int frac{1}{x-a} d x} =frac{1}{(x-a)^2}. eex$$ 于是 $$ex frac{ d y}{ d x}(x-a)=y-f(a)lra d frac{y-f(a)}{x-a}=0. eex$$
(2) 记 $$ex F(x)=sedd{a{ll} frac{f(x)-f(a)}{x-a},&a<xleq b,\ f'(a),&x=a. ea} eex$$ 则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 由 Lagrange 中值定理, $$ex F(a)=f'(a),quad F(b)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(eta),quad etain (a,b). eex$$
(3) 若 $f'(a)=f'(eta)$, 则由 Rolle 定理, $$ex exists xiin (a,b),st F'(xi)=0. eex$$
(4) 若 $f'(a)>f'(eta)$, 则由 $$eex ea F'(b)&=frac{f'(b)(b-a)-[f(b)-f(a)]}{(b-a)^2}\ &=frac{f'(a)(b-a)-f'(eta)(b-a)}{(b-a)^2}\ &=frac{f'(a)-f'(eta)}{b-a}\ &>0 eea eeex$$ 知 $F$ 的最小值不能在 $x=b$ 处取得; 又因为 $f'(a)>f'(eta)$, 而也不能在 $x=a$ 处取得; 故只能在某 $xiin (a,b)$ 处取得. 如此, $F'(xi)=0$.
(5) 若 $f'(a)<f'(eta)$, 按上述论证, $F$ 的最大值只能在某 $xiin (a,b)$ 处取得. 如此, $F'(xi)=0$.