在王高雄等《常微分方程(第三版)》习题 2.5 第 1 题第 (32) 小题: $$ex frac{ d y}{ d x}+frac{1+xy^3}{1+x^3y}=0. eex$$
解答: $$eex ea 0&=(1+xy^3) d x+(1+x^3y) d y\ &= d (x+y) +xy^3 d x+x^3y d y\ &= d (x+y) +xy^2(y d x+x d y)+x^2y(x d y+y d x) -x^2y^2 d (x+y)\ &=(1-x^2y^2) d (x+y)+frac{1}{2}(x+y) d (x^2y^2). eea eeex$$ 当 $x^2y^2 eq 1$, $x+y eq 0$ 时, $$ex 0=frac{2 d (x+y)}{x+y} -frac{ d (x^2y^2)}{x^2y^2-1} = d ln frac{(x+y)^2}{x^2y^2-1} a C(x^2y^2-1)=(x+y)^2. eex$$ 故原方程的通解为 $(x+y)^2=C(x^2y^2-1)$. 另外, 还有特解 $x+y=0$.