在 [da Veiga, Hugo Beirao. "Open problems concerning the Holder continuity of the direction of vorticity for the Navier-Stokes equations." arXiv preprint arXiv:1604.08083 (2016)] 中, Hugo Beirao 说明了如果涡度在 $(x,t), (y,t)$ 处的涡度 $om(x,t), om(y,t)$ 的夹角的正弦 $leq C|x-y|^e$, $ein [1/2,1]$, 那么解是光滑的.
但是这个 $1/2$ 却不可以降低一点点. 也就是如果 $sinangle (om(x,t),om(y,t))leq C|x-y|^e$, $0<e<1/2$, 那么 Leray-Hopf 弱解的正则性一点都不能抬高...更不要说是强解了. 真是奇怪.
试了下, 对任何 $r>1$, 要 $omin L^infty(L^r)$, 都要 $egeq 1/2$. 对涡度做 $L^p$ 估计根本没用啊.