题解 分割田地

地主某君有一块由 $2×n$ 个栅格组成的土地，有k个儿子，现在地主快要终老了，要把这些土地分给这些儿子。
分给每个儿子的土地最小的单位是一个栅格，同时，分给同一个儿子的土地要求要相邻连续的。
地主觉得分给某个儿子的土地面积至少有一个栅格，但是具体多少可以随意。
请问，聪明的你，能够算出地主一共有多少种分土地的方法吗？也就是说要求把 $2*n$ 的栅格分成 $k$ 个连通区域，每个区域至少有一个栅格。

前言

这道题目呢，真的很复杂。

考试的时候呢，看到如此小的数据，就写了个搜索，写好之后一测，发现不对了。发现了一种情况。

然后我就 $fst$ 了，还有 $5$ 分钟，我终于想到了 $dp$，这也就是正解。

然后没写完 $qwq$。

正文

分析

我们定义：$f_{i,j,0/1}$ 代表前 $i$ 列，分割成 $j$ 份，最后一列 $2$ 块是否在同一块地。

这就好办了

我们必须考虑两列。因为此列是否跟前一列连，也是很重要的。

然后，我们可以开始分类讨论。

为了方便看，我用了四种颜色来画。分别是红、黄、橙、绿。

这 $1$ 列 $2$ 个格子不在一块

我们先考虑最后 $2$ 块颜色不一样的情况。

前 $1$ 列 $2$ 个格子不在一块

情况 $1$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-2,0}$

情况 $2$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-1,0}$

情况 $3$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-1,0}$

注意：情况 $3$ 和情况 $2$ 为 $2$ 种不同的情况，一定不要漏考虑。

情况 $4$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-0,0}$

前 $1$ 列 $2$ 个格子在一块

情况 $1$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-2,1}$

情况 $2$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-1,1}$

情况 $3$

$f_{i,j,0}+=f_{i-1,j-1,1}$

注意：情况 $3$ 和情况 $2$ 为 $2$ 种不同的情况，一定不要漏考虑。

这 $1$ 列 $2$ 个格子在一块

前 $1$ 列 $2$ 个格子不在一块

情况 $1$

$f_{i,j,1}+=f_{i-1,j-1,0}$

情况 $2$

$f_{i,j,1}+=f_{i-1,j-0,0}$

情况 $3$

$f_{i,j,1}+=f_{i-1,j-0,0}$

注意：情况 $3$ 和情况 $2$ 为 $2$ 种不同的情况，一定不要漏考虑。

这 $1$ 列 $2$ 个格子在一块

情况 $1$

$f_{i,j,1}+=f_{i-1,j-1,1}$

情况 $2$

$f_{i,j,1}+=f_{i-1,j-0,1}$

代码

代码就应该很好写了。

我是写了记忆化搜索，因为非法情况和边界条件很多。

非法

if(i==1){
	if(k==1)return j==1;//如果第1列的2个格子颜色相同，只能分割成1分。
	return j==2;//如果第1列的2个格子颜色不相同，只能分割成2分。
}

边界

if(j==1)return 1;

你会发现，

状态转移方程

经过上面的推导，状态转移方程也是水到渠成了。

状态转移方程：

if(k==0){
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,0);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-0,0);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,1);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
	f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
}else{
	f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,0);
	f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
	f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
	f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,1);
	f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,1);
}

总代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int n,k,f[1010][2010][2];
bool h[1010][2010][2];
int dfs(int i,int j,int k){
	if(i==1){
		if(k==1)return j==1;
		return j==2;
	}
	if(j==1)return 1;
	if(h[i][j][k])return f[i][j][k];
	h[i][j][k]=true;
	if(k==0){
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,1);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
	}else{
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,1);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,1);
	}return f[i][j][k];
}
int main(){
	read(n);read(k);
	write(dfs(n,k,0)+dfs(n,k,1));
	return 0;
}

调错

然后你会发现你连样例都过不了，原来是有一种错误的情况在这里骗吃骗喝。

​ ——$j=1,k=0$

这一列 $2$ 两个格子颜色不同，还分成 $1$ 份？显然是错的（我在这里死了 $1 h$）

总代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int n,k,f[1010][2010][2];
bool h[1010][2010][2];
int dfs(int i,int j,int k){
	if(i==1){
		if(k==1)return j==1;
		return j==2;
	}
	if(k==0&&j==1)return 0;
	if(j==1)return 1;
	if(h[i][j][k])return f[i][j][k];
	h[i][j][k]=true;
	if(k==0){
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-2,1);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
		f[i][j][0]+=dfs(i-1,j-1,1);
	}else{
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,0);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-1,1);
		f[i][j][1]+=dfs(i-1,j-0,1);
	}return f[i][j][k];
}
int main(){
	read(n);read(k);
	write(dfs(n,k,0)+dfs(n,k,1));
	return 0;
}

后记

这里作者大概花了 $3.5hs$ 的时间，整理，画图，写了这道题的代码

已经把我认为的所有都考虑了，如果有遗漏，欢迎找我补充。