LCS算法学习

LCS的定义

• 最长公共子序列，即Longest Common Subsequence，LCS。
• 一个序列S任意删除若干个字符得到新序列T，则T叫做S的子序列；
• 两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列。

1. 字符串13455与245576的最长公共子序列为455
2. 字符串acdfg与adfc的最长公共子序列为adf

• 注意区别最长公共子串(Longest Common Substring)

1. 最长公共字串要求连续

LCS的意义

• 求两个序列中最长的公共子序列算法，广泛的应用在图形相似处理、媒体流的相似比较、计算生物学方面。生物学家常常利用该算法进行基因序列比对，由此推测序列的结构、功能和演化过程。
• LCS可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。另一方面，对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

LCS的记号

• 字符串X，长度为m，从1开始数；
• 字符串Y，长度为n ，从1开始数；
• Xi=﹤x1，⋯，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)(Xi不妨读作“字符串X的i前缀”)
• Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n) (字符串Y的j前缀)；
• LCS(X , Y) 为字符串X和Y的最长公共子序列，即为Z=﹤z1，⋯，zk﹥。

1. 注：不严格的表述。事实上，X和Y的可能存在多个子串，长度相同并且最大，因此，LCS(X,Y)严格的说，是个字符串集合。即：Z∈ LCS(X , Y) .

LCS解法的探索： x_m=y_n

• 若x_m=y_n(最后一个字符相同)，则：X_m与Y_n的最长公共子序列Z_k的最后一个字符必定为x_m(=y_n)。

1. z_k=x_m=y_n
2. LCS(X_m , Y_n) = LCS(X_m-1 , Y_n-1) + x_m

结尾字符相等，则LCS(X_m,Y_n)=LCS(X_m-1,Y_n-1)+x_m

 

LCS解法的探索：x_m≠y_n

• 若x_m≠y_n，则：要么LCS(X_m,Y_n)=LCS(X_m-1, Y_n)，要么LCS(X_m,Y_n)=LCS(X_m, Y_n-1)。
• 证明：令Z_k=LCS(X_m,Y_n)；由于x_m≠y_n则z_k≠x_m与z_k≠y_n至少有一个必然成立，不妨假定z_k≠x_m（z_k≠y_n的分析与之类似）。

1. 因为z_k≠x_m，则最长公共子序列Z_k是X_m-1和Y_n得到的，即： Z_k =LCS(X_m-1,Y_n)
2. 同理，若z_k≠y_n，则Z_k =LCS(X_m,Y_n-1)

• 即，若x_m≠y_n，则：

1. LCS(X_m,Y_n)= max{LCS(X_m-1,Y_n),LCS(X_m,Y_n-1)}

 

LCS分析总结

 

显然，属于动态规划问题。

算法中的数据结构：长度数组

• 使用二维数组C[m,n]
• c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。

1. 当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。

 

算法中的数据结构：方向变量

• 使用二维数据B[m,n]，其中，b[i,j]标记c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的。即c[i,j]是由c[i-1,j-1]+1或者c[i-1,j]或者c[i,j-1]的哪一个得到的。取值范围为Left，Top，LeftTop三种情况。

实例

• X=< A，B，C，B，D，A，B >
• Y=< B，D，C，A，B，A >

 

进一步思考的问题

• 方向数组b是完全可以省略的：

1. 数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三个值之一确定，因此，在计算中，可以临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。

• 若只计算LCS的长度，则空间复杂度为min(m, n)。

1. 在计算c[i,j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。因此，只要用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。

最大公共子序列的多解性：求所有的LCS

 

• 当x_m≠y_n时：

       若LCS(X_m-1,Y_n)=LCS(X_m,Y_n-1)，会导致多解：有多个最长公共子序列，并且它们的长度相等。

• B的取值范围从1,2,3扩展到1,2,3,4
• 广度优先遍历

 

LCS的应用：最长递增子序列LIS

• Longest Increasing Subsequence
• 给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调递增子序列。
• 例如：给定数组 {5， 6， 7， 1， 2， 8}，则其最长的单调递增子序列为{5，6，7，8}，长度为4。

1. 分析：其实此LIS问题可以转换成最长公子序列问题，为什么呢？

使用LCS解LIS问题

• 原数组为A {5， 6， 7， 1， 2， 8}
• 排序后：A’{1， 2， 5， 6， 7， 8}
• 因为，原数组A的子序列顺序保持不变，而且排序后A’本身就是递增的，这样，就保证了两序列的最长公共子序列的递增特性。如此，若想求数组A的最长递增子序列，其实就是求数组A与它的排序数组A’的最长公共子序列。

1. 此外，本题也可以直接使用动态规划来求解