求所有使 $p^2 - p + 1$ 为立方数的素数 $p$.
解答:
设 $p^2 - p + 1 = q^3$, 其中 $qinmathbf{N^{*}}$.
则 $p(p-1) = (q-1)(q^2 + q + 1)$.
$ecause p$ 是素数, $ herefore p | (q-1)$ 或 $p | (q^2 + q + 1)$.
若 $p | (q-1)$, 则 $p le q-1 Rightarrow p < q Rightarrow p^3 < q^3 Rightarrow p^3 + 1 le q^3$.
$ecause p^2 - p + 1 = q^3 Rightarrow (p+1)(p^2 - p + 1) = q^3(p+1) Rightarrow p^3 + 1 = q^3(p+1) > q^3$, 矛盾.
故 $p | (q^2 + q + 1)$. 设 $q^2 + q + 1 = kp$, $kinmathbf{N^{*}}$, 于是有
$p(p-1) = (q-1)(q^2 + q + 1) Rightarrow p-1 = k(q-1) Rightarrow p = k(q-1) + 1 Rightarrow q^2 + q + 1 = k^2(q-1) + k$
$Rightarrow q^2 + (1-k^2)q + (k^2-k+1) = 0$, 该一元二次方程有正整数根.
$Rightarrow Delta = (1-k^2)^2 - 4(k^2 - k + 1) = k^4 - 6k^2+ 4k - 3$ 是完全平方数.
而 $k^4 - 6k^2 + 9 = (k^2 - 3)^2 le k^4 - 6k^2+ 4k - 3 < k^4 -2k^2 + 1 = (k^2 - 1)^2$, 右边不等号成立的依据是 $k^2 - k + 1 > 0$ 恒成立.
$Rightarrow k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 3)^2$ 或 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 2)^2$.
若 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 3)^2 = k^4 - 6k^2 + 9$, $Rightarrow k = 3$, $q = 7$, $p = 19$, 符合题意.
若 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 2)^2 = k^4 - 4k^2 + 4$, $Rightarrow k$ 没有正整数解.
综上, $p = 19$.
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