Codeforces Round #195 A B C 三题合集 (Div. 2)

A 题 Vasily the Bear and Triangle

题目大意

一个等腰直角三角形 ABC，角 ACB 是直角，AC=BC，点 C 在原点，让确定 A 和 B 的坐标，使得三角形包含一个矩形，这个矩形一个角在原点，另一个点在 (x, y) 处，并且三角形 ABC 的面积尽量小

将 A B 两点按照 x 坐标从小到大输出

做法分析

A B 两点必然在坐标轴上，且线段 AB 经过点 (x, y)，那么简单分类讨论下就行了

交之前犹豫了一下，10分钟才提交...

参考代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N=1000006;

int x, y;

int main() {
    scanf("%d%d", &x, &y);
    if(x>0 && y>0 || x<0 && y<0) {
        if(x<0) {
            printf("%d %d %d %d
", x+y, 0, 0, x+y);
        }
        else {
            printf("%d %d %d %d
", 0, x+y, x+y, 0);
        }
    }
    else {
        if(x<0) {
            printf("%d %d %d %d
", x-y, 0, 0, y-x);
        }
        else {
            printf("%d %d %d %d
", 0, y-x, x-y, 0);
        }
    }
    return 0;
}

B 题 Vasily the Bear and Fly

题目大意

在平面上有 2*m(1≤m≤10⁵) 个同样半径的圆。他们编号分别为 1~2*m，分上下两排排列.

第 1 到 m 个圆的圆心坐标分别为：(2R-R, 0), (4R-R, 0),...,(2mR-R, 0)

第 m+1 到第 m+m 个圆的圆心坐标分别为：(2R-R, 2R), (4R-R, 2R),...,(2mR-R, 2R)

有一只 fly（苍蝇？）在这个平面上运动了 m² 次，这 m² 次运动分别编号为 0~(m²-1)，编号为 i 的那次运动从第 1+i/m 个圆的圆心运动到第 m+1+i%m 个圆的圆心，且走最短路，fly 走过的路径必须包含在这 2*m 个圆确定的区域中，不能走到外面的其他地方

现在问，这只 fly 的 m² 次运动中，每次运动走过的平均距离是多少

做法分析

典型的数学题，当时看见，菊花莫名其妙的一紧，脚趾头都抓紧了......

观察这 2*m 个圆的圆心坐标不难发现，他们分成了上下两排，同一排相邻的两个圆相切，上下相邻的两个圆相切

再观察 fly 每次运动走的圆的分布规律，不难发现是每次选定一个下面的圆的圆心，分别以上面的圆的圆心为目的点走一次最短路，所以总共有 m² 次运动

那么一个最通常的想法就是：求出这 m² 次运动总共走过的距离

先看看最短路吧：

由于每次一定是一个圆在下面，一个圆在上面，那么可以这样搞：

　　　　当两个圆相邻时（列号差为 0），最短路是 2R

　　　　

　　　　当两个圆的列号差为 1 时，最短路是 2R+√2R

　　　　

　　　　当两个圆的列号差为 2 时，最短路是 2R+2√2R

　　　　

　　　　当两个圆的列号差为 3 时，最短路是 4R+2√2R

　　　　

　　　　当两个圆的列号差为 4 时，最短路是 6R+2√2R

　　　　

　　　　当两个圆的列号差为 5 时，最短路是 8R+2√2R

　　　　......

将他们存进一个数组 A 中，A[i] 表示列号差为 i 的最短路长度

以 m 为单位，看看每次运动的起始点和终止点

　　　　前 m 次运动：起始点始终是下面第 1 个圆，终止点从上面第 1 个圆变化到第 m 个圆

　　　　接下来的 m 次运动：起始点始终是下面第 2 个圆，终止点从上面第 1 个圆变化到第 m 个圆

　　　　再接下来的 m 次运动：起始点始终是下面第 3 个圆，终止点从上面第 1 个圆变化到第 m 个圆

　　　　......

细心的读者在这里的时候估计已经知道该怎么做了，还没想出来的朋友可以接着往下看

从上面可以看出：起始点是在不停的往前走的，而终止点始终是上面的圆从 1 到 m

我们再以 m 为单位，看看他们的距离和

　　　　前 m 次运动的距离和我们可以求出来：sum1=∑A[i]

　　　　那么接下来的 m 次运动的距离和呢：sum2=sum-A[m-1]+A[1]

　　　　再接下来的的 m 次运动的距离和呢：sum3=sum2-A[m-2]+A[2]

　　　　第 4 个 m 次运动的距离和：sum4=sum3-A[m-3]+A[3]

　　　　......

相信看到这里，大家都知道该怎么做了 o(m) 的扫一遍，用两个指针辅助，这样就可以求出来了

参考代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=100006;

int m;
double R, A[N];

void init() {
    A[0]=2, A[1]=2+sqrt(2);
    for(int i=2; i<m; i++) A[i]=2*(i-1)+2*sqrt(2);
}

int main() {
    scanf("%d%lf", &m, &R);
    init();
    double ans=0;
    for(int i=0; i<m; i++) {
        ans+=A[i];
    }
    int p1=1, p2=m-1;
    double last=ans;
    for(int i=1; i<m; i++) {
        last=last-A[p2]+A[p1];
        ans+=last;
        p1++, p2--;
    }
    printf("%lf
", ans/m/m*R);
    return 0;
}

C 题 Vasily the Bear and Sequence

题目大意

给了 n(1≤n≤10⁵) 个不同的数，要求选出一些数出来，使得这些数按位取与之后的数在二进制下，最低位的 1 所在的位尽量高，如果有多重方案，输出选取数的数量最大的一个方案

做法分析

初一看很神，其实仔细想一下不难发现这题比 B 题还水...

考虑最后选取的数按位取与之后得到的数，设为 sum

要使 sum 在二进制下 1 的最低位最高，也就是说，这一位 1 以后，所有的数都应该是 0

想到这里，反应比较快的读者肯定知道该怎么做了

枚举最低位，设为 pos，先在所有数中选出二进制表示下，在 pos 位为 1，的那些数，如果这些数按位取与，能够使得所有低于 pos 位的二进制位全为 0，那么这些数就是一个合法的答案，当然，如果我们是从高位往地位枚举的，这些数就是我们最后的答案了

参考代码

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int A[100005], n;
bool vs[100005];

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &A[i]);
    for(int i=31; i>=0; i--) {
        bool flag=1;
        memset(vs, 0, sizeof vs);
        for(int j=0; j<n; j++) if(A[j]&(1<<i)) vs[j]=1;
        for(int pos=i-1; pos>=0 && flag; pos--) {
            bool all=0;
            for(int j=0; j<n && !all; j++) if(vs[j]) {
                if(!(A[j]&(1<<pos))) all=1;
            }
            if(!all) flag=0;
        }
        if(flag) break;
    }
    int cnt=0;
    for(int i=0; i<n; i++) if(vs[i]) cnt++;
    printf("%d
", cnt);
    for(int i=0; i<n; i++) if(vs[i]) {
        printf("%d", A[i]);
        cnt--;
        if(!cnt) printf("
");
        else printf(" ");
    }
    return 0;
}