概要
主要介绍了特征多项式、代数重数、几何重数以及重要的性质。
一个复方阵有多少个特征值？
首先要做的当然是给出定义啦！
接下来给出一个结论：
证明：我们分三步加以说明，
- 由 (tI-A) 行列式的计算展开表达式知，只有全取对角元素时，求和项次数才能达到 (n)，即
egin{align}
(t-a_{11}) cdots (t-a_{nn}) = t^n-(a_{11}+ cdots + a_{nn}) t^{n-1}+cdots
label{eq1}
end{align}
任何其它因子必包含非对角因子 (-a_{ij}\,(i eq j))，则对角元素 (t-a_{ii}) 与 (t-a_{jj}) 不可能也是因子。因此求和项次数不可能大于 (n-2)，于是式 ef{eq1} 确定了 (t^n) 和 (t^{n-1}) 的系数。(p_A(t)) 的常系数项正好是 (p_A(0)=mathrm{det}(-A)=(-1)^n mathrm{det} A) . - $p_A(lambda)=0 Leftrightarrow mathrm{det}(lambda I-A)=0 Leftrightarrow (lambda I-A)x=0, x eq 0 Leftrightarrow lambda in sigma(A) $
- 一次数为 (ngeqslant 1) 的多项式至多有 (n) 个不同零点。
结论 (1.1) 告诉我们，结合推广的韦达定理知：(p_A(t)) 的零点之和是 (A) 的迹 (tr(A))，而零点之积则是 (A) 的行列式 (mathrm{det} A)。进一步， 如果 (p_A(t)) 的每个零点的重数都是 (1)，(tr(A)) 是 (A) 的特征值之和，而 (mathrm{det} A) 是 (A) 的特征值之积 . 其实条件 “ 如果 (p_A(t)) 的每个零点的重数都是 (1)” 可以不需要，只不过得按照它们作为特征方程的重数来对 (A) 的特征值加以计数，下面引入代数重数的概念，
我们约定 (A in M_n) 的特征值总是指这个特征值与其相对应的（代数）重数的合并称谓. 因此无需限制就能说：每个矩阵 (A in M_n) 在复数中恰好有 (n) 个特征值，且 (A) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积.
我们知道了每一个 (n imes n) 复矩阵都有有限多个特征值，故可以给出如下定义.
在本小节的最后，再给出一个重要的定理，
证明：在上一节 特征值和特征向量 的推论 (1.2) 知，(lambda in sigma(A) Leftrightarrow lambda + varepsilon in sigma(A+varepsilon I))，我们的目标是 $ lambda + varepsilon
eq 0$, 如果 (A) 的所有特征值都为零，取 (delta=1)，如果 (A) 的某个特征值不为零，则令 (delta=min {lvert lambda
vert: lambda in sigma(A) , lambda
eq 0}) , 此时任何一个满足 (0<lvert varepsilon
vert<delta) 的 (varepsilon), 必有 (-varepsilon
otin sigma(A))，所以 $ lambda + varepsilon
eq 0$, 即 (0
otin sigma(A+varepsilon I)), 因此 (A+varepsilon I) 是非奇异的.
上述定理表明，一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的.
几何重数
开始先给出一个关于特征值的结论，
证明：由于 (mathrm{det}(tI-A^T)=mathrm{det}(tI-A)^T=mathrm{det}(tI-A)), 我们有 (p_{A^T}(t)=p_A(t)), 所以有 (p_{A^T}(lambda)=0) 当且仅当 (p_A(lambda)=0). 类似地，(mathrm{det}(ar{t}I-A^*)=mathrm{det}[(tI-A)^*]=overline{mathrm{det}(tI-A)}), 所以 (p_{A^*}(ar{t})=overline{p_A(t)}), 又 (p_{A^*} (ar{lambda})=0) 当且仅当 (p_A(lambda)=0).
如果 (x,yin mathbb{C}^n) 两者都是 (Ain M_n) 的与特征值 (lambda) 相伴的特征向量，那么 (x) 与 (y) 的任何非零的线性组合也是它的与 (lambda) 相伴的特征向量 。实际上，与一个给定的 (lambda in sigma(A)) 相伴的所有特征向量组成的集合与零向量合起来作成 (mathbb{C}^n) 的一个子空间，该子空间就是 (A-lambda I) 的零空间，就是齐次线性方程组 ((A-lambda I)x=0) 的解集，由秩的关系知其维数是 (n-mathrm{rank} (A-lambda I)). 该空间有个名字就是特征空间，下面给出特征空间的完整定义，
由 (Ax=lambda x) 便知，(A) 的与特征值 (lambda) 相伴的特征空间是一个 (A)-不变子空间，需要注意的是，一个 (A)-不变子空间不一定就是 (A) 的特征空间。特征向量不能为零，所以最小的 (A)-不变子空间（不包含有严格的更低维度的非零的 (A)-不变子空间） (W) 是 (A) 的单独一个特征向量所生成的子空间，也就是说 (mathrm{dim} W=1)。介绍完特征空间，就可以定义几何重数了，
可以证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数的。下面给一个说明：设 (alpha) 是特征多项式 (p(t)) 的一个代数重数为 (k geqslant 1) 的零点，当且仅当可以将 (p(t)) 写成形式
[
p(t)=(t-alpha)^k q(t)
]
其中 (q(t)) 是一个满足 (q(alpha)
eq 0) 的多项式。对 p(t) 求导得：(p'(t)=k(t-alpha)^{k-1}q(t)+(t-alpha)^kq'(t)), 它表明 (p'(alpha)=0) 当且仅当 (k>1). 如果 (k geqslant 2), 那么 (p''(t)=k(k-1)(t-alpha)^{k-2}cdot q(t)+) 若干个多项式项，其中每一项都含有一个因子 ((t-alpha)^m, mgeqslant k-1), 所以 (p''(alpha)=0) 当且仅当 (k>2). 重复这一计算表明，(alpha) 是 (p(t)) 的 (k) 重零点，当且仅当 (p(alpha)=p'(alpha)=cdots=p^{k-1}(alpha)=0) 以及 (p^k(alpha)
eq 0). 据此可以证明一个定理，
证明：如果 令 (B=A-lambda I), 那么 (0) 就是 (B) 的一个重数为 (k) 的特征值，从而有 (p_B^{(k)}(0)
eq 0). 但是 (p_B^{(k)}(0) =k! (-1)^{n-k}E_{n-k}(B)), 其中 (E_{n-k}(B)) 表示 (B) 的 (n-k) 阶主子式之和，故有 (E_{n-k}(B)
eq 0). 特别地，(B=A-lambda I) 的某个 (n-k) 阶主子式不为零，所以 $mathrm{rank} (A-lambda I) geqslant n-k $. 如果 (k=1), (A-lambda I) 是奇异的，故而 (n>mathrm{rank}(A-lambda I) geqslant n-1), 这就意味着：如果特征值 (lambda) 的代数重数为 (1), 那么 (mathrm{rank} (A-lambda I) = n-1).
上述定理即可证明特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数，同时还说明了代数重数为 (1)，几何重数必定为 (1). 需要注意的是并不是说代数重数为 (1) 时，代数重数才等于它的几何重数，比如单位矩阵 (I_2), (lambda=1)代数重数和几何重数都为 (2), 因此它也是半单的。
一个矩阵可对角化，当且仅当它是无亏的；它有完全不同的特征值，当且仅当它是无损的且是无亏的。考虑以下矩阵的特征值 (lambda=1), 矩阵 (egin{bmatrix} 1&0 \ 0 &2 end{bmatrix})，代数重数等于它的几何重数且都是 (1), 它是无亏的，单位矩阵 (I_2) 是无亏的且是有损的，矩阵 (egin{bmatrix} 1&1 \ 0 &1 end{bmatrix}), 几何重数是 (1), 代数重数是 (2)，它是有亏的且是无损的。
尽管 (A) 与 (A^T) 有相同的特征值，它们与给定特征值相伴的特征空间有可能是不同的。比如，矩阵 (A=egin{bmatrix} 2&3 \ 0 &4 end{bmatrix}), 那么 (A) 的与特征值 (2) 相伴的（一维）特征空间是由 (egin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}) 生成的，而 (A^T) 的与特征值 (2) 相伴的特征空间是由 (egin{bmatrix} 1& \ & -3/2 end{bmatrix}) 生成的。
读完应该知道点什么
- 每个矩阵 (A in M_n) 在复数中恰好有 (n) 个特征值，且 (A) 的迹和行列式分别是它的特征值之和以及乘积
- 一个奇异的复矩阵总可以稍加平移使之成为非奇异的
- 特征值的几何重数小于或者等于它的代数重数