将学习到什么
从 Schur 的酉三角化定理可以收获一批结果，在这一部分介绍重要的几个.
迹与行列式
相似矩阵具有相同的特征多项式, 从特征多项式一节中, 我们又知道，相似矩阵的迹以及行列式都是相同的，且分别用所有特征值的和与积表示，所以对于矩阵 (Ain M_n), (mathrm{tr}\,A) 和 (mathrm{det}\,A) 都可以用任何与 (A) 相似矩阵来计算，酉三角化中的上三角矩阵 (T) 的主对角线元素就是矩阵 (A) 的特征值，所以计算非常方便。
(A) 的多项式的特征值
假设 (Ain M_n) 有特征值 (lambda_1,cdots\,lambda_n), 并设 (p(t)) 是一个给定的多项式，从特征值的特征向量的定理 1.1 知：对每一个 (i=1,cdots,n), (p(lambda_i)) 都是 (p(A)) 的特征值，又如果 (mu) 是 (p(A)) 的特征值，那么就存在某个 (iin {1,cdots,n}), 使得 (mu=p(lambda_i)). 这些结论给出了 (p(A)) 的特征值，但没有给出它们的重数，Schur 定理揭示出它们的重数.
设 (A=UTU^*), 其中 (U) 是酉矩阵，而 (T=[t_{ij}]) 是上三角矩阵，其主对角元素是 (t_{11}=lambda_1,t_{22}=lambda_2,cdots,t_{nn}=lambda_n). 这样就有 (p(A)=p(UTU^*)=Up(T)U^*), (p(T)) 的主对角元素是 (p(lambda_1),p(lambda_2),cdots,p(lambda_n)), 故而由矩阵 (T) 的对角元素算出 (p(T)) 的特征值重数. 特别地，对每个 (k=1,cdots), 矩阵 (A^k) 的特征值是 (lambda_1^k,cdots,lambda_n^k), 且
egin{align}
mathrm{tr}\, A^k=lambda_1^k+cdots+lambda_n^k
end{align}
假设 (Ain M_n), 如果对某个正整数 (k) 有 (A^k=0), 那么 (sigma(A)={0}), 所以 (A) 的特征多项式是 (p_A(t)=t^n), 其逆命题也成立，即如果 (sigma(A)={0}), 那么存在一个酉矩阵 (U) 以及一个严格上三角矩阵 (T), 使得 (A=UTU^*), 于是如下结论等价：(A) 是幂零的(Leftrightarrow A^n=0 Leftrightarrow sigma(A)={0}).
Cayley-Hamilton 定理
这个定理是说：设 (p_A(t)) 是 (A) 的特征多项式，那么 (p_A(A)=0).
通过多项式分解和酉相似，利用归纳法可以证明. 这个定理常常被解释成每个方阵都满足它自己的特征方程，不过这需要仔细加以理解：纯量多项式 (p_A(t)) 首先是作为 (p_A(t)=mathrm{det}\, (tI-A)) 计算的，然后才是通过代换 (t
ightarrow A) 来计算矩阵 (p_A(A)).
Cayley-Hamilton 定理的一项重要用途是将 (Ain M_n) 的幂 (A^k) （对 (k geqslant n)）写成 (I,A,A^2,cdots,A^{n-1}) 的线性组合. 比如 (A=egin{bmatrix} 3 & 1 \ -2 & 0 end{bmatrix}). 那么 (p_A(t)=t^2-3t+2), 所以 (A^2-3A+2I=0), 从而 (A^2=3A-2I),(A^3=(3A-2I)A=3A^2-2A=3(3A-2I)-2A=7A-6I), 类似可计算 (A^4,A^5,cdots) 等等. 还可以将非奇异矩阵 (A) 的负次数幂表示成 (A) 与 (I) 的线性组合，将 (A^2-3A+2I=0) 写成 (I=ABig[ dfrac 12 (-A+3I) Big]), 从而 (A^{-1}=-dfrac 12 A+dfrac 32 I),同样可写出 (A^{-2},A^{-3}) 等等.
关于线性矩阵方程的 Sylvester 定理
与交换性有关的方程 (AX-XA=0) 是线性矩阵方程 (AX-XB=C) 的一个特例，通常称为Sylvester 方程.
这个定理不证明了，要了解定理中的那个充分必要条件.
Schur 三角化定理中的唯一性
对给定和 (A in M_n)，酉三角化 中定理 1.1 描述的那种可以通过酉相似得到的上三角型 (T) 不一定是唯一的. 也就是说，有相同主对角线的不同的上三角矩阵可能是酉相似的.
如果 (T,T' in M_n) 是上三角的，且有相同的主对角线，主对角线上相同的元素归并在一起，关于使得 (T'=WTW^*) （也就是 (WT=T'W)）成立的酉矩阵 (W in M_n), 有什么特点？下面的定理说的是：(W) 必定是分块对角的，而且在关于 (T) 的超对角元素的某种假设之下，(W) 必定是对角矩阵，甚至是一个纯量矩阵，在后一种情形有 (T=T').
每一个方阵都可以分块对角化
**证明：** 将 $T$ 分划成
\begin{align}
T=\begin{bmatrix} T\_{11} & Y \\ 0 & S\_2 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
其中 $S_2=[T_{ij}]_{i,j=2}^d$. 注意 $T_{11}$ 的仅有的特征值是 $lambda_1$, 而 $S_2$ 的特征值是 $lambda_2,cdots,lambda_n$. Sylvester 定理保证了方程 $T_{11}X-XS=-Y$ 有一个解 $X$，用它来构造
\begin{align}
M=\begin{bmatrix} I\_{n_1} & X \\ 0 & I \end{bmatrix} qquad ext{以及其逆} qquad M^{-1}=\begin{bmatrix} I\_{n_1} & -X \\ 0 & I \end{bmatrix}\notag
\end{align}
那么
\begin{align}
M^{-1}TM=\begin{bmatrix} I\_{n_1} & -X \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T\_{11} & Y \\ 0 & S\_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I\_{n_1} & X \\ 0 & I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} T\_{11} & T\_{11}X-XS_2+Y \\ 0 & S_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T\_{11} & 0 \\ 0 & S\_2 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
如果 $d=2$, 这就是所要的分块对角化. 如果 $d>2$, 重复这一化简过程来证明 $S_2$ 与 $T_{22}oplus S_3$ 相似，其中 $S_3=[T_{ij}]_{i,j=3}^d$. 经过 $d-1$ 次化简，我们就得知 $T$ 相似于 $T_{11}oplus cdotsoplus T_{dd}$.
如果 $A$ 是实的且有实特征值，那么它与一个刚刚考虑过的实的分块上三角矩阵实正交相似，每一步的化简都可以用实相似来实现.
秩 1 摄动的特征值
**证明：** 设 $xi = x/ lVert x
Vert _2$, 并令 $U=[xi quad u_2 quad cdots quad u_n]$ 是酉矩阵. 那么由 Schur 定理知
\begin{align}
U^*AU=\begin{bmatrix} lambda & igstar \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
其中 $A_1 in M_{n-1}$ 有特征值 $lambda_2,cdots,lambda_n$. 又有
\begin{align}
U^*xv^*U=\begin{bmatrix} xi^*x \\ u_2^*x \\ vdots \\ u_n^*x \end{bmatrix} v^* U = \begin{bmatrix} lVert x
Vert _2 \\0 \\ vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v^*xi & v^*u_2 & cdots & v^*u_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} lVert x
Vert _2 v^*xi & igstar \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v^*x & igstar \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
这样一来，
\begin{align}
U^*(A+xv^*)U= \begin{bmatrix}lambda+ v^*x & igstar \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
就有特征值 $lambda+v^*x,lambda_2,cdots,lambda_n$.
应该知道什么
- 酉三角化对于求矩阵的迹与行列式是方便的
- (A) 的多项式的特征值可以通过酉相似容易辨别出来
- 每个方阵都满足它自己的特征方程
- 每一个方阵都可以分块对角化
- 秩 1 摄动的特征值