将学习到什么
从 Schur 的酉三角化定理可以收获一批结果,在这一部分介绍重要的几个.
迹与行列式
相似矩阵具有相同的特征多项式, 从特征多项式一节中, 我们又知道,相似矩阵的迹以及行列式都是相同的,且分别用所有特征值的和与积表示,所以对于矩阵 (Ain M_n), (mathrm{tr}\,A) 和 (mathrm{det}\,A) 都可以用任何与 (A) 相似矩阵来计算,酉三角化中的上三角矩阵 (T) 的主对角线元素就是矩阵 (A) 的特征值,所以计算非常方便。
(A) 的多项式的特征值
假设 (Ain M_n) 有特征值 (lambda_1,cdots\,lambda_n), 并设 (p(t)) 是一个给定的多项式,从特征值的特征向量的定理 1.1 知:对每一个 (i=1,cdots,n), (p(lambda_i)) 都是 (p(A)) 的特征值,又如果 (mu) 是 (p(A)) 的特征值,那么就存在某个 (iin {1,cdots,n}), 使得 (mu=p(lambda_i)). 这些结论给出了 (p(A)) 的特征值,但没有给出它们的重数,Schur 定理揭示出它们的重数.
设 (A=UTU^*), 其中 (U) 是酉矩阵,而 (T=[t_{ij}]) 是上三角矩阵,其主对角元素是 (t_{11}=lambda_1,t_{22}=lambda_2,cdots,t_{nn}=lambda_n). 这样就有 (p(A)=p(UTU^*)=Up(T)U^*), (p(T)) 的主对角元素是 (p(lambda_1),p(lambda_2),cdots,p(lambda_n)), 故而由矩阵 (T) 的对角元素算出 (p(T)) 的特征值重数. 特别地,对每个 (k=1,cdots), 矩阵 (A^k) 的特征值是 (lambda_1^k,cdots,lambda_n^k), 且
egin{align}
mathrm{tr}\, A^k=lambda_1^k+cdots+lambda_n^k
end{align}
假设 (Ain M_n), 如果对某个正整数 (k) 有 (A^k=0), 那么 (sigma(A)={0}), 所以 (A) 的特征多项式是 (p_A(t)=t^n), 其逆命题也成立,即如果 (sigma(A)={0}), 那么存在一个酉矩阵 (U) 以及一个严格上三角矩阵 (T), 使得 (A=UTU^*), 于是如下结论等价:(A) 是幂零的(Leftrightarrow A^n=0 Leftrightarrow sigma(A)={0}).
Cayley-Hamilton 定理
这个定理是说:设 (p_A(t)) 是 (A) 的特征多项式,那么 (p_A(A)=0).
通过多项式分解和酉相似,利用归纳法可以证明. 这个定理常常被解释成每个方阵都满足它自己的特征方程,不过这需要仔细加以理解:纯量多项式 (p_A(t)) 首先是作为 (p_A(t)=mathrm{det}\, (tI-A)) 计算的,然后才是通过代换 (t
ightarrow A) 来计算矩阵 (p_A(A)).
Cayley-Hamilton 定理的一项重要用途是将 (Ain M_n) 的幂 (A^k) (对 (k geqslant n))写成 (I,A,A^2,cdots,A^{n-1}) 的线性组合. 比如 (A=egin{bmatrix} 3 & 1 \ -2 & 0 end{bmatrix}). 那么 (p_A(t)=t^2-3t+2), 所以 (A^2-3A+2I=0), 从而 (A^2=3A-2I),(A^3=(3A-2I)A=3A^2-2A=3(3A-2I)-2A=7A-6I), 类似可计算 (A^4,A^5,cdots) 等等. 还可以将非奇异矩阵 (A) 的负次数幂表示成 (A) 与 (I) 的线性组合,将 (A^2-3A+2I=0) 写成 (I=ABig[ dfrac 12 (-A+3I) Big]), 从而 (A^{-1}=-dfrac 12 A+dfrac 32 I),同样可写出 (A^{-2},A^{-3}) 等等.
关于线性矩阵方程的 Sylvester 定理
与交换性有关的方程 (AX-XA=0) 是线性矩阵方程 (AX-XB=C) 的一个特例,通常称为Sylvester 方程.
这个定理不证明了,要了解定理中的那个充分必要条件.
Schur 三角化定理中的唯一性
对给定和 (A in M_n),酉三角化 中定理 1.1 描述的那种可以通过酉相似得到的上三角型 (T) 不一定是唯一的. 也就是说,有相同主对角线的不同的上三角矩阵可能是酉相似的.
如果 (T,T' in M_n) 是上三角的,且有相同的主对角线,主对角线上相同的元素归并在一起,关于使得 (T'=WTW^*) (也就是 (WT=T'W))成立的酉矩阵 (W in M_n), 有什么特点?下面的定理说的是:(W) 必定是分块对角的,而且在关于 (T) 的超对角元素的某种假设之下,(W) 必定是对角矩阵,甚至是一个纯量矩阵,在后一种情形有 (T=T').
每一个方阵都可以分块对角化
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秩 1 摄动的特征值
![](https://images2017.cnblogs.com/blog/1255644/201711/1255644-20171105161125826-159653689.png)
应该知道什么
- 酉三角化对于求矩阵的迹与行列式是方便的
- (A) 的多项式的特征值可以通过酉相似容易辨别出来
- 每个方阵都满足它自己的特征方程
- 每一个方阵都可以分块对角化
- 秩 1 摄动的特征值