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算法导论-排序（三）堆排序

内容

1、堆排序介绍

1.1 、堆是什么

堆是一颗完全二叉树，（设某一个节点为i,根节点从0开始，则其左孩子节点为2*i+1,右孩子节点为2*i+2），堆任意一个非叶节点满足：

Key[i]>=Key[2*i+1] && Key[i]>=Key[2*i+2] 或者 Key[i]<=Key[2*i+1] && Key[i]<=Key[2*i+2],

就是说对于任意一个父节点，要么大于等于子节点，要么小于等于子节点，对于Key[i]>=Key[2*i+1] && Key[i]>=Key[2*i+2]的堆叫做大顶堆；对于 Key[i]<=Key[2*i+1] && Key[i]<=Key[2*i+2]的叫做小顶堆；由上述性质可知大顶堆的堆顶的关键字肯定是所有关键字中最大的，小顶堆的堆顶的关键字是所有关键字中最小的

1.2、什么是堆排序

就是在堆的基础上进行排序，如何排序呢？

[1] 首先，从要排序的数组开始建立一个大顶堆（这里以大顶堆说明，如何建大顶堆，下面详解），这样由大顶堆的性质可知，堆顶的数最大；

[2] 然后，交换堆顶key[0]和堆的最后一个元素Key[n-1]，Key[0]<->Key[n-1] ,这样最大的数就放到堆的最后Key[n-1]了；由于交换了元素，0 ~ (n-2)的节点可能不满足大顶堆要求，所以然后对堆的Key[0]--Key[n-2]调整为大顶堆;

[3] 将调整好的大顶堆[0~(N-2)],交换堆顶Key[0]和堆的最后一个元素Key[n-2],Key[0]<->Key[n-2],这样，Key[n-2]、Key[n-1]最大的两个数都已经排好了；重新调整[0~（n-3）]为大顶堆；不断重复此过程直到整个排序过程完成

如何建大顶堆呢？

[1] 首先，从最大的非叶节点（设为Key[i]）开始，往下进行调整，如果子孩子节点Key[2*i+1]和Key[2*i+2]较大的值比Key[i]的值大，则，交换该节点Key[i]与子节点中较大的节点。然后以交换后的子节点作为当前节点，往下进行调整，直到遇到叶节点；

[2] 最大非叶节点Key[i]调整完毕后，对节点Key[i-1]进行往下调整，直到出现叶节点；不断重复此过程，直到对根节点往下调整完毕；

下面是建大顶堆的实例：待排序数组为[5 16 3 20 17 4]

2、堆排序实例

上面图说明了如何建大顶堆，建好大顶堆后就可以进行排序了，下面是堆排序的实例：

3、c++ 完整代码

Sort.h(堆排序函数实现)

  1 #ifndef SORT_HH
  2 #define SORT_HH
  3 template<typename T >
  4 class Sort
  5 {
  6 public:    
  7     void Swap(T &m,T &n);//交换数据    
  8     void print_element(vector<T> A);//打印数组
  9     void HeapSort(vector<T> &A,bool IsRecurFlag);        
 10 private:
 11     void HeapAdjust(vector<T> &A,int i,int n);//非递归调整堆
 12     void HeapAdjust_Recursive(vector<T> &A,int i,int n);//递归调整堆
 13     void BuildBigHeap(vector<T> &A,bool IsRecurFlag);//建大顶堆
 14 };
 15 template<typename T>//交换数据
 16 void Sort<T>::Swap(T &m,T &n)
 17 {
 18     T tmp;
 19     tmp=m;
 20     m=n;
 21     n=tmp;
 22 }
 23 //从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
 24 template<typename T>
 25 void Sort<T>::HeapAdjust(vector<T> &A,int i,int n)
 26 {
 27     T temp = A[i];
 28     int j = 2*i+1;//下标从0开始
 29     while (j<n)//非递归实现
 30     {
 31         if (j+1<n&&A[j+1]>A[j])//找出子节点的最小值
 32             j++;
 33         if(A[j]<=temp)//子节点不大于父节点，调整结束
 34             break;
 35 
 36         A[i] = A[j];// 子节点最大值大于父节点，值赋给父节点；
 37         i = j;
 38         j = 2*i+1;//下标从0开始
 39     }
 40     A[i] = temp;//调整结束
 41 }
 42 //从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
 43 template<typename T>
 44 void Sort<T>::HeapAdjust_Recursive(vector<T> &A,int i,int n)//递归调整堆
 45 {
 46     int lchild = 2*i+1;
 47     int rchild = 2*i+2;
 48     int max = i;
 49     if (i<=(n-1)/2)//从最大非叶节点开始调整
 50     {
 51         if (lchild<n&&A[lchild]>A[max])
 52         {
 53             max=lchild;
 54         }
 55         if(rchild<n&&A[rchild]>A[max])
 56         {
 57             max=rchild;
 58         }
 59         if (max!=i)//子节点值比父节点大，调整
 60         {
 61             Swap(A[i],A[max]);
 62             HeapAdjust_Recursive(A,max,n);//递归
 63         }
 64     }
 65 }
 66 //初始从待排序数组建大顶堆
 67 //数组从0开始计算，建堆从p到q
 68 template<typename T>
 69 void Sort<T>::BuildBigHeap(vector<T> &A,bool IsRecurFlag)
 70 {
 71     int n=A.size();
 72     for(int i=(n-1)/2;i>=0;i--)//从最大的非叶节点开始
 73     {
 74         if (IsRecurFlag)
 75             HeapAdjust_Recursive(A,i,n);
 76         else
 77             HeapAdjust(A,i,n);
 78     }
 79 }
 80 //堆排序，首先建大顶堆
 81 template<typename T>
 82 void Sort<T>::HeapSort(vector<T> &A,bool IsRecurFlag)
 83 {
 84     int len = A.size();
 85     BuildBigHeap(A,IsRecurFlag);//建大顶堆
 86     for(int i=len-1;i>=0;i--)
 87     {
 88         Swap(A[0],A[i]);//未排序堆第一个和最后一个交换
 89         if (IsRecurFlag)//递归
 90             HeapAdjust_Recursive(A,0,i);
 91         else//非递归
 92             HeapAdjust(A,0,i);//调整为大顶堆
 93     }
 94 }
 95 
 96 template<typename T>//打印数组
 97 void Sort<T>::print_element(vector<T> A)
 98 {
 99     int len=A.size();
100     for (int i=0;i<len;i++)
101     {
102         std::cout<<A[i]<<" ";
103     }
104     std::cout<<std::endl;
105 }
106 #endif

Sort.cpp(主测试函数)

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 using namespace std;
 4 #include "Sort.h"
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     Sort<int> sort1;
 9     int a[]={2,4,3,178,23,134,1,-27,1345,80};
10     vector<int > vec_int1(a,a+10);
11     cout<<"源数组：";
12     sort1.print_element(vec_int1);
13     cout<<"非递归实现排序：";
14     sort1.HeapSort(vec_int1,false);
15     sort1.print_element(vec_int1);
16 
17     vector<int > vec_int2(a,a+10);
18     cout<<"递归实现排序：";
19     sort1.HeapSort(vec_int2,true);
20     sort1.print_element(vec_int2);
21     system("PAUSE");
22     return 0;
23 }