剑指Offer - 九度1348 - 数组中的逆序对
2014-01-30 23:19
- 题目描述：
- 在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。
- 输入：
-
每个测试案例包括两行：
第一行包含一个整数n，表示数组中的元素个数。其中1 <= n <= 10^5。
第二行包含n个整数，每个数组均为int类型。
- 输出：
- 对应每个测试案例，输出一个整数，表示数组中的逆序对的总数。
- 样例输入：
-
4
7 5 6 4
- 样例输出：
-
5
题意分析：
这一题的任务是求出一个数组的逆序数，也就是只通过交换相邻元素的方式，将这个数组排成升序的最少交换次数。定义可参见百度百科：逆序数。
按照冒泡或者选择排序的方法，能很直观地求出逆序数，因为执行的操作就是交换相邻元素。但问题也很明显，效率太低无法满足时间要求。
快速排序、堆排序、归并排序应该都能对应地找出算逆序数的方法，而且时间上有优势。三者中归并排序的写法和分析方法明显比另外两者要简单，于是我选择了归并排序。
归并排序的思路很简单：
1. 排序前一半
2. 排序后一半
3. 合并两个已排序的子数组
对于a[i]~a[j]和a[j+1]~a[k]这么两段儿，如果两段都已经排好了序，且存在左半段的某个a[x]>右半段的某个a[y]的话，那么a[x]、a[x+ 1]、...、a[j]必然都大于a[y]。
按上面那种算法，一次就多了j-x+1个逆序数。这么一来，就不用一个一个地算了。要是真一个一个地算逆序数，时间复杂度必然是O(n^2)了，因为逆序数本身就是O(n^2)数量级的。
最后，别忘了用64位整数来存结果，因为10^5个数，逆序数最多可以是5*10^左右，超出了int的范围。
时间复杂度O(n * log(n))，空间复杂度O(n)。
1 // 687950 zhuli19901106 1348 Accepted 点击此处查看所有case的执行结果 1800KB 1093B 100MS
2 // 201401302316
3 #include <cstdio>
4 using namespace std;
5
6 const int MAXN = 100005;
7 int a[MAXN];
8 int n;
9 long long int res;
10 int tmp[MAXN];
11
12 void merge_sort_recursive(int a[], int ll, int rr)
13 {
14 if (ll >= rr) {
15 return;
16 }
17 int mm;
18 mm = (ll + rr) / 2;
19 merge_sort_recursive(a, ll, mm);
20 merge_sort_recursive(a, mm + 1, rr);
21
22 int i, j, k;
23
24 i = ll;
25 j = mm + 1;
26 k = ll;
27 while (true) {
28 if (i <= mm) {
29 if (j <= rr) {
30 if (a[i] <= a[j]) {
31 tmp[k++] = a[i++];
32 } else {
33 tmp[k++] = a[j++];
34 res += mm - i + 1;
35 }
36 } else {
37 tmp[k++] = a[i++];
38 }
39 } else {
40 if (j <= rr) {
41 tmp[k++] = a[j++];
42 } else {
43 break;
44 }
45 }
46 }
47 for (i = ll; i <= rr; ++i) {
48 a[i] = tmp[i];
49 }
50 }
51
52 int main()
53 {
54 int i;
55
56 while (scanf("%d", &n) == 1) {
57 for (i = 0; i < n; ++i) {
58 scanf("%d", &a[i]);
59 }
60 res = 0;
61 merge_sort_recursive(a, 0, n - 1);
62 printf("%lld
", res);
63 }
64
65 return 0;
66 }