圆方树学习笔记

圆方树是什么

对于一个无向图的每一个点双连通分量，都新建一个点，让这个点给点双连通分量的每一个点都连一个边。不考虑原来的边的话，此时图变成了一棵……不一定是树的东西，。我们令原来的点为圆点，新增的点为方点。这就是一棵圆方树。

性质

由上，可以发现圆方树的性质有：

1. 树上任意一个边的两个点都不是同一种点。
2. 方点的数量 = 点双连通分量的数量
3. 每一个方点的度数 = 点双连通分量的点数

实际应用

例题1 P4630 【APIO2018】 Duathlon 铁人两项

首先做一遍圆方树，我们发现对于每一个双连通分量而言，贡献的答案为siz-2（siz为连通块大小）（两个点有一个都在内部好考虑，对于两个点有一个外面的就发现外面汇入到这里面来的时候会重，要-2）。我们再给圆方树的方点/圆点分别赋予权值（这也是很多圆方树题的重点）。我们发现当我们令方点权值为他的度数，圆点权值为-1的时候，则答案为经过的点的权值。

朴素考虑两个点是(O(n^2))的，我们就对每个点考虑他对答案的贡献，然后就是套路dp，(O(n))，发现瓶颈在Tarjan上，是(O(n+m))的，反正能过。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
namespace ztd{
    using namespace std;
    typedef long long ll;
	const int mod = 998244353;
	const int inf = 2147483647;
    template<typename T> inline T read(T& t) {//fast read
        t=0;short f=1;char ch=getchar();double d = 0.1;
        while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
        while (ch>='0'&&ch<='9') t=t*10+ch-'0',ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t*=f;
        return t;
    }
}
using namespace ztd;
const int maxn = 1e6+7, maxm = 4e6+7;
int n, m, s, l, a[maxn];

struct  Graph{
	int last[maxn], gg[maxm], y[maxm], ecnt;
	inline void addedge(int x, int yy){
		y[++ecnt] = yy, gg[ecnt] = last[x];
		last[x] = ecnt;
	}
	inline void clear(){
		memset(last,0,sizeof(last));
		memset(y,0,sizeof(y));
		memset(gg,0,sizeof(gg)); 
		ecnt = 0;
	}
}e, g;

int siz[maxn];
int totsiz, w[maxn];

//***Tarjan************************************************************
int dfx[maxn], low[maxn], dfxcnt, st[maxn], top, gtot;
void Tarjan(int x){
	dfx[x] = low[x] = ++dfxcnt; st[top++] = x; ++totsiz;
	for(int i = e.last[x], y = e.y[i]; i; i = e.gg[i], y = e.y[i]){
		if(!dfx[y]){
			Tarjan(y);
			low[x] = min(low[x], low[y]);
			if(low[y] >= dfx[x]){
				w[++gtot] = 0;
				++gtot;
				do{
					g.addedge(st[--top], gtot); g.addedge(gtot, st[top]);
					++w[gtot];
				}while(st[top] ^ y);	
				g.addedge(gtot, x); g.addedge(x, gtot); ++w[gtot];
			}											
		}else low[x] = min(low[x], dfx[y]);
	}
}
//*********************************************************************
ll ans;
void dfs(int x, int fa){
	siz[x] = (x <= n);
	for(int i = g.last[x]; i; i = g.gg[i]){
		int y = g.y[i]; 
		if(y == fa) continue;
		dfs(y, x);
		ans += 2ll * w[x] * siz[x] * siz[y];
		siz[x] += siz[y];
	}	
	ans += 2ll * w[x] * siz[x] * (totsiz-siz[x]);
}

signed main(){ 
	gtot = read(n); read(m);
	int xx, yy;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) w[i] = -1;
	for(int i = 1; i <= m; ++i){
		read(xx); read(yy); 
		e.addedge(xx,yy); e.addedge(yy,xx);
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if(!dfx[i]){
			totsiz = 0;
			Tarjan(i); --top;
			dfs(i,0);
		}
	}
	cout << ans << '
';
	return 0;
}