第三章 行列式

3.1 二阶和三阶行列式

简单介绍了下二元、三元一次方程组的求法，然后引入了行列式。

3.2 n阶行列式的定义与基本性质

定义余子式和代数余子式。

定义行列式 (|A| = mathrm{det} A = sumlimits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} a_{i1}M_{i1} = sumlimits_{i = 1}^n a_{i1}A_{i1})

注记 3.2.2

有函数 (mathrm{det} : M_n(mathbb F) o mathbb F, A mapsto mathrm{det} A = |A|)

命题 3.2.3

设 (A) 为上三角矩阵，则 (|A|) 等于主对角元素的乘积。特别地 (|I_n| = 1) 。

由定义可证。

命题 3.2.4

(A) 为 (n) 阶方阵且 (B) 是将 (A) 第 (s) 行元素乘以数 (c) 得到的矩阵，则 (|B| = c|A|) 。

用数学归纳法，然后展开看系数。

推论 3.2.5

若 (n) 阶矩阵 (A) 某行为 (0) 则 (|A| = 0)

注记 3.2.6

(|cA| = c^n|A|)

命题 3.2.7

设 (B) 通过交换 (A) 两个不同行得到矩阵，则 (|B| = -|A|) 。

考虑归纳法，然后考虑交换相邻两行，再推广。

推论 3.2.8

若两行完全相同或者成比例则 (|A| = 0) 。

命题 3.2.9

对 (A, B, C) 三个 (n) 阶方阵，若给定 (1 le s le n) 若 (c_{sj} = a_{sj} +b_{sj}) 其余位置 (a_{ij} = b_{ij} = c_{ij}) 那么 (|C| = |A| + |B|) 。

还是归纳法，然后展开的时候考虑一下两种项即可。

注记 3.2.10

一般来说 (|A + B| = |A| + |B|) 不成立。

推论 3.2.11

设 (B) 是将 (A) 将第 (i) 行元素乘以 (c) 加到第 (j) 行 ((i ot= j)) 上所得到的的矩阵，有 (|B| = |A|) 。

综上，我们得到了 (|P_{ij}A| = -|A|, |D_i(c)A| = c|A|, |T_{ij}(c) A| = |A|) ，对于列变换也一样（考虑转置即可）

引理 3.2.12

• 若 (D = mathrm{diag}(d_1, dots, d_n)) 则 (|DA| = d_1 cdots d_n |A|) 。
• (A) 可以通过第三类初等变换变成 (mathrm{diag}(d_1, dots, d_n)) 且 (|A| = d_1 cdots d_n) 。

定理 3.2.13

(|A^T| = |A|)

考虑把 (A) 化成第三类初等矩阵和对角矩阵的乘积。

定理 3.2.14

(|AB| = |A||B|)

同 定理3.2.13 证明即可。

推论 3.2.15

(|A|) 可逆 (Leftrightarrow |A| ot= 0)

而且此时有 (|A^{-1}| = |A|^{-1})

(Rightarrow: |A||A^-1| = |I_n| = 1)

(Leftarrow:) 可化成对角矩阵，然后 (mathrm r(A) = n) 即可

注记 3.2.16

(|A| ot = 0) 则 (A) 非奇异；(|A| = 0) 则 (A) 奇异。

定义 (s) 阶子式 。

命题 3.2.17

(mathrm r = mathrm r(A)) 当且仅当 (A) 有一个非零的 (r) 阶子式，且所有的 (r+1) 阶子式全为 (0) 。

先证如果存在一个非零的 (r) 阶子式 (mathrm r(A) ge r) ，然后考虑反证法即可。

3.3 行列式的展开和Cramer法则

定理 3.3.1

[sum_{i = 1}^n a_{is}A_{it} = [s = t]|A| = sum_{i = 1}^n a_{si} A_{ti} ]

只需考虑一半，另外一半用转置即可。

首先证明 (s = t) 的情况，可考虑交换两列后，利用定义证。

对于 (s ot = t) 时候，考虑把第 (t) 列用第 (s) 列替换，然后不难发现新矩阵行列式即这个求和式，显然为 (0) .

我们称

[A^* = egin{pmatrix} A_{11} &A_{21} &cdots &A_{n1}\ A_{12} &A_{22} &cdots &A_{n2}\ vdots &vdots &ddots &vdots\ A_{1n} &A_{2n} &cdots &A_{nn} end{pmatrix} ]

为 (A) 的伴随矩阵，由上述定理得到 (AA^* = |A|I_n = A^*A)

推论 3.3.2

若 (A) 可逆，则 (A^{-1} = |A|^{-1} A^*)

定理 3.3.4(Cramer's rule)

若线性方程组的系数矩阵 (A) 可逆，则方程组有唯一解 (x_i = frac{D_i}{|A|}) 。

其中 (D_i = {alpha_1, dots, alpha_{i - 1}, eta, alpha_{i + 1}, dots, alpha_n})

证明：
有唯一解 ((x_1 dots x_n)^T = A^{-1} (b_1 dots b_n)^T)

由推论可知，(A^{-1} = {|A|}^{-1} A^*)
则 (x_i = {|A|}^{-1} sum_{A_{ji}}b_j = {|A|}^{-1} D_i)

进行扩展的话，只需要令 (x_{r + 1}, dots, x_n) 赋上一组解即可，
然后用这个去代回去。

例 3.3.5

归纳法计算范德蒙德行列式。

例 3.3.6

第一降阶定理

[egin{vmatrix} A & B\ C & D end{vmatrix} = egin{cases} |A||D - CA^{-1}B| &若A可逆\ |D||A - BD^{-1}C| &若D可逆 end{cases} ]

证明：

[egin{pmatrix} I_m & 0\ -CA^{-1} & I_n\ end{pmatrix} egin{pmatrix} A & B\ C & D\ end{pmatrix} = egin{pmatrix} A & B\ 0 & D - CA^{-1}B\ end{pmatrix} ]

注记 3.3.7

第一降阶公式

当 (A, D) 都可逆有

(|D + CA^{-1}B| = |A^{-1}||D||A + BD^{-1} C|)

3.4 行列式的等价定义

定义 3.4.1

定义逆序数，偶排列，奇排列。

定理 3.4.2

[|A| = sum_{(i_1, dots, i_n) in S_n} (-1)^{ au(i_1, dots, i_n)} a_{i_11}a_{i_22}dots a_{i_nn} ]

证明考虑展开每项，然后将选取的项标成 (1) ，最后调整成单位矩阵的次数。

推论 3.4.3

(n ge 2) 时，奇偶排列各占一半、

证明，取 (a_{ij} = 1) ，有 (|A| = 0 = sum_{(i_1, dots, i_n) in S_n} (-1)^{ au(i_1, dots, i_n)})

推论 3.4.5

设映射

[mathcal D: M_n (mathbb F) = underbrace{mathbb{F}^n imes cdots imes mathbb{F}^n}_{n} o mathbb F ]

满足

[mathcal D(alpha_1, dots, lambda alpha_i, dots, alpha_n) = mathcal lambda D(alpha_1, dots, alpha_i, dots, alpha_n) \ mathcal D(alpha_1, dots, alpha_i + eta_i, dots, alpha_n) = mathcal D(alpha_1, dots, alpha_i, dots, alpha_n) + mathcal D(alpha_1, dots, eta_i, dots, alpha_n) \ mathcal D(alpha_1, dots, alpha_i, dots, alpha_j, dots, alpha_n) = 0 ~若~alpha_i = alpha_j(i ot = j)\ mathcal D( extbf e_1, extbf e_2, dots, extbf e_n) = 1 ]

则作为 (M_n(mathbb F) o mathbb F) 的函数 (mathcal D = mathrm{det}) 。

注记 3.4.6

上述 (mathcal D: M_n(mathbb F) o mathbb F) 为行列式函数。

引理 3.4.7

排列中交换两个数位置称作对换。

一个排列经过一次对换后奇偶性改变。

首先考虑相邻两个情况，然后推广即可。

命题 3.4.8

推广到 (a_{i_1j_1} a_{i_2j_2} cdots a_{i_nj_n}) 的符号为 ((-1)^{ au(i_1, dots, i_n) + au(j_1, dots, j_n)}) 。

3.5 Laplace定理与Cauchy-Binet公式

定义 3.5.1

定义 (A) 的一个 (s) 阶子式

[A egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} = egin{vmatrix} a_{i_1j_1} &cdots &a_{i_1j_s}\ vdots &ddots &vdots\ a_{i_sj_1} &cdots &a_{i_sj_s} end{vmatrix} ]

并且定义其余子式，为划去那些行与列的子式
(M egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix})

进一步定义代数余子式

[widehat A egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} = (-1)^{i_1 + cdots + i_s + j_1 + cdots + j_s} M egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} ]

定理 3.5.2(Laplace 定理)

取定 (s) 和 (1 le i_1 < i_2 < cdots < i_s le n)

[|A| = sum_{1 le j_1 < j_2 < cdots < j_s le n} A egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} widehat A egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} ]

证明的话，每个排列都会被枚举到，那么只需要考虑系数（此处比较复杂）

定理 3.5.4(Cauchy-Binet 公式)

设 (A, B) 分别为 (m imes n) 和 (n imes m) 矩阵

• 若 (m > n) 则 (|AB| = 0)
• 若 (m le n) 则

[|AB| = sum_{1 le j_1 < j_2 < cdots < j_m le n} A egin{pmatrix} 1 & 2 & dots & m\ j_1 & j_2 & dots & j_mend{pmatrix} B egin{pmatrix} j_1 & j_2 & dots & j_m\ 1 & 2 & dots & mend{pmatrix} ]

考虑

[egin{vmatrix} A & 0\ -I_n & B end{vmatrix} = egin{vmatrix} 0 & AB\ -I_n & B end{vmatrix}]

对于右式展开前 (m) 行之后，考虑系数。对于左式按前 (m) 行展开，然后余子式，对前 (n - m) 列展开。最后比较系数

推论 3.5.5

设 (A, B) 分别为 (m imes n) 和 (n imes m) 矩阵，(s le m)

• 若 (s > n) 则 (AB) 所有 (s) 阶子式为 (0)
• 若 (s le n) 则 (AB) 的 (s) 阶子式

[AB egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} \ = sum_{1 le k_1 < k_2 < cdots < k_s le n} A egin{pmatrix} i_1 & i_2 & dots & i_s\ k_1 & k_2 & dots & k_send{pmatrix} B egin{pmatrix} k_1 & k_2 & dots & k_s\ j_1 & j_2 & dots & j_send{pmatrix} ]

若行列取自相同行列的子式，称为主子式。

推论 3.5.6

(AA^T) 每个主子式都非负。

例 3.5.7(Lagrange 恒等式)

设 (n ge 2) 则

[(sum_{i = 1}^n a_i^2) (sum_{i = 1}^n b_i^2) - (sum_{i = 1}^n a_ib_i)^2 = sum_{i = 1}^n (a_ib_j - a_jb_i)^2 ]

然后对于前者 (ge 0) 为 ( ext{Cauchy-Schwarz}) 不等式。