乘法逆元

目录

• 乘法逆元小结
  • 逆元定义
  • 求解逆元的方式
    • 拓展欧几里得
    • 快速幂
    • 线性算法
    • 阶乘逆元 $O(n)$ 求

乘法逆元小结

乘法逆元，一般用于求 $$frac{a}{b} pmod p$$ 的值（(p) 通常为质数），是解决模意义下分数数值的必要手段。

有兴趣可以点进我的博客看看啊qwq

逆元定义

若(a*xequiv1 pmod {b})，且(a)与(b)互质，那么我们就能定义:
(x) 为 (a) 的逆元，记为(a^{-1})，所以我们也可以称 (x) 为 (a) 在 (mod b) 意义下的倒数，

所以对于 (displaystylefrac{a}{b} pmod {p}) ，我们就可以求出 (b) 在 (mod {p}) 下的逆元，然后乘上 (a) ，再 (mod {p})，就是这个分数的值了。

求解逆元的方式

拓展欧几里得

这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 (mod {p}) 比较大的时候)。

这个就是利用拓欧求解 线性同余方程 (a*x equiv c pmod {b}) 的(c=1)的情况。我们就可以转化为解 (a*x + b*y = 1) 这个方程。

求解这个方程的解。不会拓欧可以点这里~

而且这个做法还有个好处在于，当 (a ot p) （互质），但 (p) 不是质数的时候也可以使用。

代码比较简单：

void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else Exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
    ll x, y;
    Exgcd (a, p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    printf ("%d
", x); //x是a在mod p下的逆元
}

快速幂

这个做法要利用 费马小定理

若(p)为素数，(a)为正整数，且(a)、(p)互质。
则有(a^{p-1} equiv 1 (mod {p}))。

这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 (1) 。

所以我们就可以放入原式，就可以得到：

[a*xequiv 1 pmod p ]

[a*xequiv a^{p-1} pmod p ]

[x equiv a^{p-2} pmod p ]

所以我们可以用快速幂来算出 (a^{p-2} pmod p)的值，这个数就是它的逆元了

代码也很简单：

ll fpm(ll x, ll power, ll mod) {
    x %= mod;
    ll ans = 1;
    for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= mod)
    	if(power & 1) (ans *= x) %= mod;
    return ans;
}
int main() {
	ll x = fpm(a, p - 2, p); //x为a在mod p意义下的逆元
}

线性算法

用于求一连串数字对于一个(mod p)的逆元。洛谷P3811

只能用这种方法，别的算法都比这些要求一串要慢。

首先我们有一个,(1^{-1}equiv 1 pmod p)

然后设 (p=k*i+r,(1<r<i<p)) 也就是 (k) 是 (p / i) 的商，(r) 是余数 。

再将这个式子放到(pmod p)意义下就会得到：

[k*i+r equiv 0 pmod p ]

然后乘上(i^{-1}),(r^{-1})就可以得到:

[k*r^{-1}+i^{-1}equiv 0 pmod p ]

[i^{-1}equiv -k*r^{-1} pmod p ]

[i^{-1}equiv -lfloor frac{p}{i} floor*(p mod i)^{-1} pmod p ]

于是，我们就可以从前面推出当前的逆元了。

代码也很短：

inv[1] = 1;
for(int i = 1; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

阶乘逆元 (O(n)) 求

因为有如下一个递推关系。

(displaystyle inv[i+1]=frac{1}{(i+1)!})

(displaystyle inv[i+1]*(i+1)=frac{1}{i!}=inv[i])

所以我们可以求出(n!)的逆元，然后逆推，就可以求出(1...n!)所有的逆元了。

递推式为

(inv[i+1]*(i+1)=inv[i])

所以我们可以求出 (displaystyle forall i, i!,frac{1}{i!}) 的取值了。

然后这个也可以导出 (displaystyle frac{1}{i} pmod p) 的取值，也就是

[displaystyle frac{1}{i!} imes (i - 1)! = frac{1}{i} pmod p ]

具体实现可以参考我这发提交（卡了常。。）