[2018.3.30集训]path-对偶图-最小割

题目大意

给出一个包含 n + 1 个结点的有向图，结点的编号为 0 到 n。图中有 m 条
有向边，第 i 条有向边起点为 ui，终点为 vi，且长度为 wi。并且这些边还满
足如下的性质：
• 对任意一条边，满足 ui < vi。
• 不存在两条边 i; j 使得 ui < uj < vi < vj。
除了结点 0 和结点 n 以外，其余的每个结点都有颜色。现在需要你找出一条从结点 0 走到结点 n 的最短路径。对于任意一种颜色，这条路径要么经过了这种颜色的所有结点，要么就不经过这种颜色的任意一个结点。如果不存在这样的路径，请输出 -1，否则输出最短路径的长度。

题解

考场上对偶图都想到了却不会建限制边QAQ

首先，平面图最小割可以转对偶图最短路。
所以反过来也可以。

于是首先转成对偶图最小割建图，每条边在对偶后成为连接它在原图两侧的两个平面对偶后的点的边。

接下来就是考虑限制了。
考虑对每种颜色建一个节点，对于一条边，从它对偶后指向的节点，向它所覆盖的所有边的起点的颜色的节点连双向$Inf$边。
这么连的含义是，选择了这条边就不能选择这种颜色。
于是，由于不选择这种颜色，就需要对于每一种以该颜色为起点的边，割掉完全覆盖掉它的某一条边。
于是，双向$Inf$边保证了上述条件，使得所有覆盖了该颜色的边的边由于该颜色的节点而互相联通，必须要一起割。

最后，对于那些只能到达$0$和$n$中的一个的节点，将它们的颜色的点向汇点连双向$Inf$边，代表这种颜色不能选。
于是就完成了!

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();
	while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}

const int N=1009;

struct ed
{
	int u,v,w;
	bool cover;

	bool operator < (ed o)const
	{
		return v-u<o.v-o.u;
	}
};

int n,m,s,t,c[N],fl[N],Inf,tot;
int g[N][N],id[N],rid[N];
bool cover[N],connect[N];
ed e[N*N];

namespace flow
{
	const int P=2009;
	const int M=100009;
	int to[M<<1],nxt[M<<1],w[M<<1],beg[P],tote=1;
	int q[P],dis[P];

	inline void add(int u,int v,int uc,int vc)
	{
		to[++tote]=v;nxt[tote]=beg[u];w[tote]=uc;beg[u]=tote;
		to[++tote]=u;nxt[tote]=beg[v];w[tote]=vc;beg[v]=tote;
	}

	inline bool bfs()
	{
		memset(dis,0,sizeof(dis));
		q[1]=s;dis[s]=1;
		for(int l=1,r=1,u=q[1];l<=r;u=q[++l])
			for(int i=beg[u];i;i=nxt[i])
				if(w[i]>0 && !dis[to[i]])
					dis[to[i]]=dis[u]+1,q[++r]=to[i];
		return dis[t];
	}

	inline int dfs(int u,int flow)
	{
		if(u==t || !flow)return flow;

		int cost=0;
		for(int i=beg[u],f;i;i=nxt[i])
			if(w[i]>0 && dis[to[i]]==dis[u]+1)
			{
				f=dfs(to[i],min(flow-cost,w[i]));
				w[i]-=f;w[i^1]+=f;cost+=f;
				if(cost==flow)break;
			}
		if(!cost)dis[u]=-1;
		return cost;
	}

	inline int dinic()
	{
		int ret=0;
		while(bfs() && ret<Inf)
			ret+=dfs(s,Inf);
		return ret<Inf?ret:-1;
	}
}

using namespace flow;

int main()
{
	freopen("path.in","r",stdin);
	freopen("path.out","w",stdout);

	memset(g,127,sizeof(g));
	Inf=g[0][0]+1;
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
		c[i]=read();
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)
	{
		u=read();v=read();
		g[u][v]=g[v][u]=min(g[u][v],read());
	}

	fl[n]=1;
	for(int i=n;i>=0;i--)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			fl[i]|=(fl[j] && g[i][j]<Inf);

	m=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		if(fl[i])
		{
			rid[id[i]=++m]=i;
			for(int j=0;j<i;j++)
				if(g[j][i]<Inf && id[j] && id[j]!=m-1)
					e[++tot]=(ed){id[j],m,g[j][i],0};
		}

	if(id[n]!=m)return puts("-1"),0;
	
	e[++tot]=(ed){1,m,0,0};
	sort(e+1,e+tot+1);

	for(int i=1;i<=tot;i++)
		printf("%d:%d %d %d
",i,e[i].u,e[i].v,e[i].w);

	s=tot,t=tot+n+1;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		if(fl[i])
			add(tot+c[i],t,Inf,Inf);
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		for(int j=1;j<i;j++)
			if(!e[j].cover && e[i].u<=e[j].u && e[j].v<=e[i].v)
				e[j].cover=1,add(i,j,e[j].w,Inf);
		for(int j=e[i].u+1;j<=e[i].v-1;j++)
			if(!cover[j])
				cover[j]=1,add(i,tot+c[rid[j]],Inf,Inf);
		for(int j=e[i].u;j<e[i].v;j++)
			if(!connect[j])
				connect[j]=1,add(i,t,g[rid[j]][rid[j+1]],0);
	}

	printf("s %d
",dinic());
	return 0;
}