floj2963

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题意：

现在有n(n<=300)个左括号，要求合理安排n个右括号使其成为一个合法括号序列
但是现在有m(m<=45000)个要求，对于每个要求：
从左往右数第(a_i)个左括号所对应的右括号在第(b_i)个左括号所对应的右括号的前面
最后询问一共有多少种方案数（结果对998244353取模）

题解：

求方案数，基本锁定是dp
考虑区间dp~~(这个我也不知道是怎么想到的_{难道是n^3的复杂度？？)}~
定义(dp_{l,r})表示合法的括号区间[l,r]（l,r指左括号的编号）
考虑用第一对括号(即l)进行转移(设剩下的合法括号串为preans)

• ()preans (dp_{l,r}=dp_{l,r}+dp_{l+1,r};) 条件：[l+1,r]没有限制其对应右括号在l的右括号前面
• (preans) 转移同上; 条件：l没有限制其对应右括号在[l+1,r]的右括号前面
• (pre)ans/(prea)ns/....(即从中间截断)
  枚举断点为k:(dp_{l,r}=dp_{l,r}+dp_{l+1,k}*dp_{k+1,r};)
  条件：l没有限制其对应右括号在[l+1,k]的右括号的前面并且[k+1,r]没有限制其对应右括号在[l,k]的右括号前面

现在我们关心如何快速判断是否符合条件
对于限制条件的数对((a_i,b_i))(含义如题)
我们记录(mp[a_i][b_i]=1)
然后再用sum[][]对mp[][]做一个二维前缀和
对于一个矩形区域(x,y) (z,w),如果此区域所有数之和为0
则表示不存在[x,z]限制其对应右括号在[y,w]的右括号前面这样的条件

注意：

可能存在自环。这样要输出0.

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=305,mod=998244353;
int t,n,m;
int f[N][N],mp[N][N],sum[N][N];
bool vis[N][N];
inline int s(int a1,int b1,int a2,int b2)
{
	return sum[a2][b2]-sum[a1-1][b2]-sum[a2][b1-1]+sum[a1-1][b1-1];
}
int dp(int l,int r)
{
	int &d=f[l][r];
	if(vis[l][r])return d;
	vis[l][r]=true;
	if(l==r)return d=1;
	d=0;
	if(!s(l+1,l,r,l))d=(d+dp(l+1,r))%mod;
	if(!s(l,l+1,l,r))d=(d+dp(l+1,r))%mod;
	for(int k=l+1;k<r;++k)
		if(!s(l,l+1,l,k) && !s(k+1,l,r,k))
			d=(d+1ll*dp(l+1,k)*dp(k+1,r)%mod)%mod;
	return d%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;++i)
			fill(vis[i]+1,vis[i]+n+1,0),
			fill(mp[i]+1,mp[i]+n+1,0),
			fill(sum[i]+1,sum[i]+n+1,0);
		bool flag=0;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
			mp[u][v]=1;
			if(u==v)flag=1;
		}
		if(flag){puts("0");continue;}
		for(int i=1;i<=n;++i)
			for(int j=1;j<=n;++j)
				sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+mp[i][j];
		printf("%d
",dp(1,n));
	}
	return 0;
}