量子傅里叶变换

傅里叶变换

前文中我们了解了Hadamard变换，本文将要介绍傅里叶变换。

傅里叶变换的使用方式和Hadamard变换非常类似。

a图大家应该不陌生了，这个就是我们在简单的量子算法(二)：Simon's Algorithm中介绍的Simon‘s algorithm，而b图，只是把这个电路中的Hadamard门变成量子傅里叶，就成了一个可以period finding的电路。而period finding是Shor算法的基础。

那么傅里叶白变换的矩阵表示长什么样子呢？

一个N比特的傅里叶是这样的：

[QFT_N= frac{1}{sqrt N}left[ egin{array}{}{1} &{1}&1&…&1 \ 1&{omega} &{omega^2} &{…} &{omega^{N-1}} \ 1&{omega^2} &{omega^4} &{…} &{omega^{2*(N-1)}} \… \ 1&{omega^{N-1}} &{omega^{(N-1)*2}} &{…} &{omega^{(N-1)*(N-1)}}end{array} ight] ]

其中 (omega =e^{frac{2 pi i}{N}} =cos frac{2 pi}{N}+i sin frac{2 pi}{N})

第i行j列的就是 (omega ^{ij}) ,需要注意的是，这里的ij都是从零开始计数。

说这么麻烦，(omega,omega^2, omega^3,…,omega^{N}) 其实就是 (x^N=1) 的N个解。

那么这个 $ omega $ 又有什么特殊之处呢？

如果我们令:
$x=e^{ heta_1 i} =cos heta_1 +i sin heta_1 $

$y=e^{ heta_2 i} =cos heta_2 +i sin heta_2 $

那么，

[egin{align}x*y&=(cos heta_1 +i sin heta_1)(cos heta_2 +i sin heta_2) \ &= cos heta_1 cos heta_2+ isin heta_1cos heta_2 +icos heta_1sin heta_2 + sin heta_1 sin heta_2 \ &=cos( heta_1+ heta_2)+sin( heta_1+ heta_2) \&=e^{i( heta_1+ heta_2)} end{align} ]

是以，(omega)的相乘，表达出来是 ( heta) 的相加。

如果让 ( heta_1= 2 pi /N) ，那么(omega,omega^2, omega^3,…,omega^{N}) 所对应的 ( heta) 就正好是 ( heta_1, heta_1*2, heta_1*3, heta_1*4,…,, heta_1*N)。

正巧是一个圆里等分的几个。

一些和w有关的有趣事实：

• (1+omega+omega^2+omega^3+…++omega^{N-1}=0) （因为把他们加在一起相当于是一个圆里的几个等分点加在一起，正好回到了原点）
• (1+omega^j+omega^{2*j}+omega^{3*j}+…++omega^{(N-1)*j}) 为0 如果 (j eq 0) 为N 如果(j=0)
• (frac{omega^{nj}-1}{omega^j-1}=0 (j eq0))
• (omega) 的共轭转置是 (omega^{-1})

量子傅里叶变换和普通的傅里叶变换有有什么区别呢？

量子傅里叶变换更快

简单里离散傅里叶变换，需要的时间是 (N^2)

快速傅里叶变换的是 (Nlog N)

而量子傅里叶是 (n^2= log^2N)

量子变换的两个有趣性质

量子傅里叶的电路图如下图，输入是 (sum_{i=0}^{N-1} alpha_i |i angle) 输出是 (sum_{i=0}^{N-1} eta_i |i angle)

Convolution-Multiplication

如果我们输入的量子态的概率幅为 (alpha_0 , alpha_1, alpha_2, alpha_3,…, alpha_{N-1}) ，输出的量子态的概率幅为 (eta_0 , eta_1, eta_2, eta_3,…, eta_{N-1})

则，当我们将输入的概率幅变为：(alpha_{N-},alpha_0 , alpha_1, alpha_2, …, alpha_{N-2}) 输出的概率不变。(这里写得是概率，不是概率幅，概率是概率幅的平方)

why?

原本的输入他们对应的输出是这样的

(eta_0=alpha_0+alpha_1+alpha_2+…+alpha_{N-1})

(eta_1=alpha_0+omegaalpha_1+omega^2alpha_2+…+omega^{N-1}alpha_{N-1})

(eta_i=sum_j omega^{ij} alpha_j)

当我们改变的我们输入的顺序后

[eta_0’=alpha_{N-1}+alpha_0+alpha_1+…+alpha_{N-2} ]

(egin{align}eta_1'&=alpha_{N-1}+omega alpha_0+ omega^2 alpha_1+omega^3alpha_2+…+omega^{N-1}alpha_{N-2}\ &= omega^{N}alpha_{N-1}+omega alpha_0+ omega^2 alpha_1+omega^3alpha_2+…+omega^{N-1}alpha_{N-2} \ &= omega(alpha_0+omegaalpha_1+omega^2alpha_2+…+omega^{N-1}alpha_{N-1}) \&= omega eta_1 end{align})

在等式的第二步之所以能直接在(alpha_{N-1})前面加上一个(omega^N) ，是因为 (omega^N=1)

(eta_1)似乎和(eta_1')长得不一样，他们中间还差了一个(omega)，但是前面我们说了，(omega)是 (x^N=1)的解，则，这两个的平方是一样的，即，他们的概率是一样的。

概率一样意味着什么？

意味着，当我们把我的输入数据shift后，我在后面的测量得到每种结果的可能性是一样的。

periodic function

傅里叶变换可以改变周期函数的周期，如下图：

不过比起a图，我们更喜欢b图的周期，只在周期处有值，其余处的概率为0，且所有周期处的概率是相等的。

那么QFT真的能做到这一点吗？

证明：

我的输入是 (sqrt{frac{r}{M}}sum_{j=0}^{frac{M}{r}-1}|j*r angle)

只有在r的整数倍的地方才有值，所以有概率的只有(|j*r angle) ,因为这些值是平均的，概率的总值为1，一共有值的地方有(M/r)个，所以每个地方的概率都是 (r/M) ,又因为这里是概率幅，所以这里提到前面的是 (sqrt{frac{r}{M}}) 。

傅里叶矩阵，在前面我们已经提到，在矩阵前有一个系数(sqrt{frac{1}{M}}) ,矩阵里第i行j列的就是 (omega ^{ij}) 。

如果我们要求 (eta_{k frac{M}{r}}) 的值怎么算？

M/r是(eta) 的周期，前面的k是第几个周期的计数，(k frac{M}{r})对应的，也就是(omega)的i, (omega)的j是第几列的意思，这里是j*r

(egin{align}eta_{k frac{M}{r}}=&sqrt{frac{r}{M}} *sqrt{frac{1}{M}} sum_{j=0}^{frac{M}{r}-1} omega^{kfrac{M}{r}j*r}\&= frac{sqrt{r}}{M}sum_{j=0}^{frac{M}{r}-1} omega^{k*M*j} \ &=frac{sqrt{r}}{M}sum_{j=0}^{frac{M}{r}-1} 1^{k*j} \ &= frac{sqrt{r}}{M} *frac{M}{r} \ &= frac{1}{sqrt{r}}end{align})

M就是先前的N，所以 (omega^M=1) 。

综上，我们可知，(eta)在周期处的值都相等。

那么为什么，其他地方的也都是0呢？

可以直接去推一推，会抵消，也可以这么想，在周期处的概率为1/r，而周期处一共有r个，由于概率和为1，那么其他地方必然没有概率。

ps:大家有画示意图比较方便的软件吗？感觉自己ppt绘图能画死在这

参考资料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 9