复数
(z=x+iy)所对应(overline{Oz})满足( an heta=frac{y}{x})
( heta=Argz,-pi<argzleqpi)为主辐角
对于非零复数(z=r(cos heta + isin heta))
Euler公式
(e^{i heta}:=cos heta+isin heta)
(z=re^{i heta}, hetain Arg z.)
Example
把复数(1-cos varphi+i sin varphi(0<varphi leq pi))化为指数形式（(e^{i heta}:=cos heta+isin heta)）！！(isin heta)
(egin{aligned} 1-cos varphi+i sin varphi &=2 sin ^{2} frac{varphi}{2}+2 i sin frac{varphi}{2} cos frac{varphi}{2}=2 sin frac{varphi}{2}left(sin frac{varphi}{2}+i cos frac{varphi}{2} ight) \ &=2 sin frac{varphi}{2}left(cos left(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2} ight)++i sin left(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2} ight) ight)=2 sin frac{varphi}{2} e^{ileft(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2} ight)} end{aligned})
(operatorname{Arg}left(z_{1} z_{2} ight)=operatorname{Arg} z_{1}+operatorname{Arg} z_{2}, operatorname{Arg} frac{z_{1}}{z_{2}}=operatorname{Arg} z_{1}-operatorname{Arg} z_{2})
De Moivre公式：
((cos heta+i sin heta)^{n}=cos n heta+i sin n heta)
(z^{n}=r^{n} e^{i n heta}=r^{n}(cos n heta+i sin n heta))
Example
(cos3 heta,sin3 heta)利用(cos heta,sin heta)来表示
(cos 3 heta+i sin 3 heta=(cos heta+i sin heta)^{3}=cos ^{3} heta+3 i cos ^{2} heta sin heta-3 cos heta sin ^{2} heta-i sin ^{3} heta)
Def：
(sqrt[n]{z}:=left{w in mathbb{C}, w^{n}=z ight})
(quad quad sqrt[n]{z}=left{w_{k}, k=0, ldots, n-1
ight})
其中(w_{k}=sqrt[n]{r} e^{i frac{ heta+2 k pi}{n}})
(|z|^{2}=z ar{z},) Re (z=frac{z+ar{z}}{2}, operatorname{Im} z=frac{z-ar{z}}{2 i})
复平面上的点集
点(z_0)的( ho)邻域：(N_{ ho}left(z_{0} ight)=left{z in mathbb{C},left|z-z_{0} ight| leq ho ight})
点(z_0)的去心( ho)邻域(N_{ ho}left(z_{0} ight)-left{z_{0} ight})
考虑点集(E),若平面上一点(z_0)的任何邻域
有界集E的直径
(d(E)=sup left{left|z-z^{prime} ight| | z, z^{prime} in E ight})
(Bolzano-Weierstrass)定理
每一个有界无穷点集有聚点
(Cantor)定理
(F_{n+1} subset F_{n}, lim limits_{n ightarrow infty} dleft(F_{n} ight)=0)
有限覆盖定理
有界闭集的任何开覆盖存在有限子覆盖
简单曲线
(left{egin{array}{l}{x=x(t)} \ {y=y(t)}end{array}(alpha leq t leq eta)
ight.)
Jordan定理：
解析函数
处处连续处处不可微：
(f(z)=ar{z}, operatorname{Re} z, operatorname{Im} z,|z|)